nb"-'(a-b)<a"-b" <na"-'(a-b)4.求下列极限tanx-x(1) lim(2) limx-0cosx-1x→0x-sinxInsinxIn tan 7x(3)lim(4) lim-2x)2x-→0+ In tan 2x(元1元X(5) lim(1-x)tan(6) limxe2x→>11~002Y(7) limlim(8)1nsnxlimlim (cot(9)(10)x-→0*-0-(12) lim x in(e-1)(11) limcosxx-→0+sectanx-xcos"(1) lim=lim解：limx-0 1-cosxx→>01-cOSxx-0 x-sin x-2cos-3 x(-sin x)2limcos-3 x= limx→>0x-→0sinx= 2;2xet?4e-1elim(2)lim2limx-o sinxx-0 cosx-1x-0-sinx-x=2;SOREInsinxcotxlimlimlim(3)T-2x)22(元-2x)(-2)4元+8x元（元-1CSCX= limlim88x sin*x
1 1 ( ) ( ) n n n n nb a b a b na a b − − − − − . 4.求下列极限. (1) 0 tan lim x sin x x → x x − − ； (2) 2 0 1 lim cos 1 x x e → x − − ； (3) 2 2 ln sin lim x ( 2 ) x x → − ； (4) 0 ln tan 7 lim x ln tan 2 x x → + ； (5) 1 lim(1 ) tan x 2 x x → − ； (6) 1 lim 1 x x x e → − ； (7) 2 1 2 1 lim x→ x x 1 1 − − − ； (8) 1 1 lim x ln ln x → x x − ； (9) tan 0 1 lim x x x → + ； (10) ( ) 1 ln 0 lim cot x x x → + ； (11) ( ) 2 2 lim cos x x x − − → ； (12) 1 ln( 1) 0 lim x e x x + − → ． 解： （1） 0 tan lim x sin x x → x x − − 2 2 1 cos 0 0 sec 1 1 lim lim 1 cos 1 cos x x x x → → x x − − = = − − ( ) 3 3 0 0 2cos sin lim 2limcos x x sin x x x x − − → → − − = = = 2 ； （2） 2 0 1 lim cos 1 x x e → x − − 2 2 0 0 2 lim 2lim sin sin x x x x xe e x x x → → = = − − =−2 ； （3） 2 2 ln sin lim x ( 2 ) x x → − ( ) cos sin 2 2 cot lim lim 2( 2 ) 2 4 8 x x x x x x x → → = = − − − + 2 2 csc lim x 8 x → − = 2 2 1 1 lim 8 sin x x → = −
187 sc27x7In tan 7xsin2xcos2xtan7xlimlim(4)lim2sec*2x21~0*+ In tan 2xr-→>0+sin7xcos7xx-→0+tan2x7-71sin4x4cos4xlimlim=2x~0*sin14x2 x→0+14cos14x27=1-×=2-11-x元xlim=lim(5) lim(1-x)tan=2csc2元Xx-→1 cot xx-→1x→1222元Xlimsin2元-1元一1-erer-1limlimlimxex(6)-xx-+00X-00X-→001=limex=1:x->02-(x+1)2x +1= limlim(lim(7)大x-→>1-1x-→1(x-1)(x+1)x-i (x-1)(x+1)Xx-111-lim-lim2x- (x+1)- (x-1)(x+1)11-x-1x=lim(8)lim(=lim1lnxx-→>1lnxx→1 lnxx-→1Y=-limx =-1:x-→1tan tanx.In!-lim* = ex-o* tan x.ln xlim=lime(9)X0+x-→0*
18 =− ； （ 4 ） 0 ln tan 7 limx ln tan 2 xx → + 22 sec 7 tan 7 sec 2 0 0 tan 2 7 7 sin 2 cos2 lim lim 2 2 sin 7 cos7 xxx x x x x x x x → → + + = = 0 0 7 sin 4 7 4cos4 lim lim 2 sin14 2 14cos14 7 2 1 2 7 x x x x x x → → + + = = = = （ 5 ） 1 lim(1 ) tan x 2x x → − 2 1 1 2 2 2 1 1 lim lim cot csc x x x x x → → − − = = − 2 1 2 limsin x 2 x → = 2 = ； （ 6 ） 1 lim 1 x x x e → − ( ) 1 1 2 1 2 1 lim lim x x x x x e e xx − → → − − − = = − 1 lim x x e → = ＝１； （ 7 ） 2 1 2 1 lim( ) x→ x x 1 1 − − − ( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 2 1 1 lim lim x x 1 1 1 1 x x → → x x x x − + − + = = − + − + ( )( ) ( ) 1 1 1 1 lim lim x x 1 1 1 x → → x x x − = − = − − + + 12 = − ； （ 8 ） 1 1 lim( ) x ln lnx → x x − 1 1 1 1 1 lim lim x x ln x x → → x − − = = 1 limx x → = − =− 1 ； （ 9 ） tan 0 1 lim x x x → + 0 1 tan .ln lim tan .ln 0 lim x x x x x x e e → + + − → = =
-sin?x-lim sin.x-lim-lim-.lim sinxx=ex-0*csc2xer~ot=er-0+ xX→0=1e(2)lim In(cotx)lim1-xX→0+x)inx = lim ei(cotx)nx0x0+(10) lim (cot x)=eX-0*limcc)12xx11- xX→0+lim-lim=ex→0+sinxcosx→0+2sin.xcosx=e2e-sinxcos1(元-2x)limIn cos.xlim(2)limX7224cotx(r-2x)2元-2x(11) lim (cos)eex-(π-2x)sin2 x[2(元-2 x)(-2)limlim4-1cSc~x=e° =1=e=e1lim-n1In.xlim x i(e-)=ex-0*me-)= lim ec-)(12)x-→0x->0+1limexlim -!lim-ex=ex-ote'+xet=er~0*xere_l=e=e.5.证明y=2x-x2在区间(0,1)上单调增加，而在区间(1,2)上单调减少。证明：因为=/2x-x2，所以2x-x2≥0，解得0x2，故函数的定义域为[0,2]，又因为2-2x/2x-x(x±0,x±22/2x-x[1-x>02(1- x)所以xE(0,2)时y,即0<x<1中的分母恒大于0，当10<x<22/2x-x2[1- x<0时>0，函数单调增加，[o<x<2·即1<x<2时<0, 两数单调减少,6.求下列函数的单调区间
2 2 0 0 0 0 1 sin sin lim lim lim . lim sin csc 0 1 x x x x x x x x x x x e e e e → → → → + + + + − − − = = = = = （10） ( ) 1 ln 0 lim cot x x x → + ( ) ( ) ( ) 1 2 cot 0 1 ln 0 csc ln cot lim 1 lim ln cot ln 0 lim x x x x x x x x x x e e e → + → + + − → = = = ( ) 1 2 cot 0 0 0 csc lim 1 2 lim lim sin cos 2sin cos x x x x x x x x x x x x e e e → + → → + + − − − = = = 1 e = ； （11） ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 sin cos ln cos lim 1 2 lim ( 2) lim 2 2 4 cot 2 2 2 2 lim cos x x x x x x x x x x x x x e e e − − → − → → − − − − − − − − − → = = = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 ( 2) 2 sin lim lim 4 1 csc 0 1 x x x x x x e e e − − → → − − − − − − = = = = （12） 1 ln( 1) 0 lim x e x x + − → 1 ln ln( 1) ln( 1) 0 ln lim 0 lim x x x e e x x x e e − → + − → + = = 1 1 0 1 0 0 lim 1 lim lim x x x x x x x x x e x x e e e xe e xe e e e e → + + + − → → − + = = = = ． 5. 证明 2 y x x = − 2 在区间 (0,1) 上单调增加，而在区间 (1, 2) 上单调减少。 证明：因为 2 y x x = − 2 ，所以 2 2 0 x x − ，解得 0 2 x ，故函数的定 义域为 0,2 ，又因为 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0, 2 2 2 x y x x x x x x − = − = − ， 所以 x(0,2) 时 ( ) 2 2 1 2 2 x y x x − = − 中的分母恒大于 0，当 1 0 0 2 x x − ，即 0 x 时 y 0 ，函数单调增加，当 1 0 0 2 x x − ，即 x 2 时 y 0 ，函数单调减少， 6. 求下列函数的单调区间