例2考虑定义在闭区间[0,2元]上一切连续C[0,2元]函数所作成的欧氏空间（参看8.1例3），函数组(1) 1, cosx, sinx, .. ,cosnx , sinnx, .构成C[0,2元]的一个正交组理学院数学系
[0,2 ] C[0,2 ] 例2 考虑定义在闭区间 函数所作成的欧氏空间 （参看8.1例3），函数组 的一个正交组。 (1) 1，cosx, sinx, . ,cosnx ,sinnx,. 构成 上一切连续 C[0,2 ] 理学院数学系
事实上，我们有2元1dx=2元，元,若m=n,2元cos mx cosnxdx0,若m≠n,元,若m=n,2元sin mx sin nxdx：0,若m≠n,理学院数学系
2 0 1dx 2 , 2 0 , , 0, , sin sin m n m n mx nxdx 若 若 0, , , , cos cos 2 0 m n m n mx nxdx 若 若 事实上，我们有 理学院数学系
2元2元sin nxdx = 0cos mx sin nxdx =cos nxdx =所以<1,1>= 2元,< cos nx,cosnx >=< sin nx,sin nx >= 元,<1,cosnx >=<1,sin nx >=0< cosmx.cosnx >=< sinmx.sinnx >=< cosmx,sinnx >= 0,若m±n,把（1）中每一向量除以它长度，我们就得C[0，2元1的一个标准正交组11sinxsinnx,...cosx.cosnx,2元V元V元V元V元理学院数学系
2 2 2 0 0 0 cos sin cos sin 0 1,1 2 , cos ,cos sin ,sin , 1,cos 1,sin 0, cos ,cos sin ,sin mx nxdx nxdx nxdx nx nx nx nx nx nx mx nx mx nx 所以 0, , cos ,sin m n mx nx 若 把（1）中每一向量除以它长度，我们就得 C[0，2π]的一个标准正交组 sin ,. 1 cos , 1 sin ,., 1 cos , 1 , 2 1 x x nx nx 理学院数学系
2.正交组的性质定理8.2.1设{α1,α2,…,αn）是欧氏空间的一个正交组，那么αi,α2,,αn线性无关n证：设有(由0（使得j=l+anαn =0aa +aaa-a因为当ij 时αi,α,>=0，所以但<α,α,)±0，所以=0,i=1,2,",即α1,α2，,αn线性无关理学院数学系
2．正交组的性质 定理8.2.1 设 { , , , } 1 2 n 一个正交组，那么 n , , , 1 2 线性无关. 是欧氏空间的 证：设有 a1 ,a2 ,,an R 使得 a11 a2 2 an n 0 因为当i≠j 时 i , j 0 ，所以 但 , 0 i i ，所以 0, 1,2, , , i a i n即 n , , , 1 2 线性无关. i i i n j j i j n j i i j j a a a , , 0 ,0 , 1 1 理学院数学系
8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性1.标准正交基的定义设V是一个n维欧氏空间，如果V中有n 个向量αi,α2,,αn构成一个正交组，那么由定理8.2.1，这个n个向量构成V的一个基叫做V的一个正交基。如果V的一个正交基还是一个规范正交组，那么就称这个基是一个规范正交基理学院数学系
1．标准正交基的定义 设V 是一个n 维欧氏空间，如果V 中有 n , , , n 个向量 1 2 构成一个正交组，那么 由定理8.2.1，这个n 个向量构成V 的一个基， 叫做V 的一个正交基。如果V 的一个正交基 还是一个规范正交组，那么就称这个基是一 个规范正交基。 理学院数学系