例8 设 ,n为欧氏空间V中任意两个非零向量.证明s,n的夹角为0;(1) =an(a>0)当且仅当自 , 的夹角为;(2) =an(α<0)当且仅当理学院数学系
例8 设 , 为欧氏空间V 中任意两个 (1) a(a 0)当且仅当 的夹角为0; 非零向量.证明: , (2) a(a 0) 当且仅当 , 的夹角为π; 理学院数学系
向量的正交8.1.3定义4欧氏空间的两个向量与n说是正交的<≤,n >= 0如果定理8. 1. 2在一个欧氏空间里，如果向量与n,n2,;nr中每一个正交，那么与n,n2;n的任意一个线性组合也正交理学院数学系
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的, 如果 , 0 定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ r , , , 1 2 中每一个正交，那 么ξ与 1 ,2 ,,r 的任意一个线性组合也正交. 与 理学院数学系
思考题1：设 α,β 是 n维欧氏空间V中两个不同的向量,且 1α=β[=1,证明：(α,β) ± 1.思考题2：在欧氏空间Rn中，设α, = (ai,ai2,..,ain)(i = 1,2,..,n)两两正交,且 α，的长度Iα, =i,A=(aj,)nxn求 A 的行列式|A丨的值理学院数学系
思考题1：设 , 是 n 维欧氏空间V 中 | || | 1, 证明: , 1. 两个不同的向量,且 思考题2：在欧氏空间 n R 中,设 ( , , , )( 1,2, , ) i ai1 ai2 ain i n 两两正交,且 i 的长度 i A aij n n i | | , ( ) 求 A 的行列式 | A | 的值. 理学院数学系
8. 2正交基一、内容分布8.2.1 正交组的定义、性质8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性8.2.3子空间的正交补8.2.4正交矩阵的概念8.2.5n维欧氏空间同构的概念及判别二、教学目的：1.准确理解和掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念及基本性质.2.能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个标准正交向量组3.能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，并会求某些子空间的正交补，4.掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系5.掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论三、重点难点：正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念；子空间的正交补的概念及基本性质；施密特正交化方法理学院数学系
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8.2.1正交组的定义、性质1.正交组的定义定义1欧氏空间的一组两两正交的非零向量叫做的一个正交组，如果一个正交组的每一个向量都是单位向量，这个正交组就叫做一个标准正交组例()α1 = (0,1,0),α2构成R一个标准正交组，因为α3/= 1<α1,α2 >=< α2,α3 >=< α3,α >= 0理学院数学系
定义1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的 一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向 量, 这个正交组就叫做一个标准正交组. 1．正交组的定义 例1 向量 , 2 1 ,0, 2 1 0,1,0 , 1 2 3 1 1 ,0, 2 2 构成 3 R 一个标准正交组，因为 1, 1 2 3 , , , 0. 1 2 2 3 3 1 理学院数学系