先证明其中的第一个等式 (Vx)(p(z)-*g) =(yx(P(x)vq =x)P(x)Vq依5.2.1的等值式 (x)P(x)∨q依5.1.2的等值式 =(3x)P(x)→g
先证明其中的第一个等式． 依5．2．1的等值式 依5．l．2的等值式
再证明其中的第三个等式 (vx)(p→Q(x) =(Vx)(pvQ(x)) ∨《Vx)Q(x)依5.2.的等值式 力(Hx)Q(x) ■其余两个等值式同样可证
再证明其中的第三个等式 依5．2．l的等值式 其余两个等值式同样可证．
5.2.3量词Ⅴ对^、量词彐对V的分配律 (Yx)(P(x)∧Q(x))=(x)P(x)∧(x)Q( (彐x)(P(x)∨Q(x))=(x)P(x)∨(彐x)Q(x) ■这是当P(x),Q(x)都含有个体变元x时,量词∨对 量词彐对Ⅴ所遵从的分配律.然而∨对,彐对^的分 配律一般并不成立
5．2．3 量词对^、量词对V的分配律 这是当P(x)，Q(x)都含有个体变元x时，量词对^ ， 量词对V所遵从的分配律．然而对V，对^的分 配律一般并不成立．
(1)先证明对^的分配律 设在一解释|,(x)(P(×)^Q(x)=T于是对任一X∈D P(×)^Q(x)=T 即P(x)=Q(x)=T 从而有(xP(x)=(x)Q(x)=T 故有(x)P(x)(x)Q(x)=T 反推回去,易知在一解释下下,只要 (×P(×)^(x)Q(x)=T 必有(vx)(P(x)~Q(x)=T
(1)先证明对^的分配律 设在一解释I下，(x)(P(x)^Q(x))=T于是对任一x D P(x)^Q(x)=T 即P(x)=Q(x)=T 从而有(x)P(x)=(x)Q(x)=T 故有(x)P(x)^(x)Q(x)=T 反推回去，易知在一解释I下，只要 (x)P(x)^(x)Q(x)=T 必有(x)(P(x)^Q(x))=T
再证明彐对v的分配律 设在一解释,(x)(P(x)vQ(∞X)=T于是有x∈D使 P(XOVQ(Xo)=T 从而有P(x)=T或Q(x0)=T也即 (xP(X)或(x)Q(x)为T 故有(xP(X)V(x)Q(x)=T 反推回去,易知在一解释下下,只要 (x)P(x)V(日×)Q(X)=T 必有(x(P(x)VQ(x)=T
再证明对v的分配律 设在一解释I下，(x)(P(x)vQ(x))=T.于是有x0D 使 P(x0 )vQ(x0 )=T 从而有P(x0 )=T或Q(x0 )=T也即 (x)P(x)或(x)Q(x)为T 故有(x)P(x)v(x)Q(x)=T 反推回去，易知在一解释I下，只要 (x)P(x)v(x)Q(x)=T 必有(x)(P(x)vQ(x))=T