第六节高斯公式 推广 Green公式 Gauss公式
第六节 高斯公式 Green 公式 Gauss 公式 推广
、高斯公式 设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有 阶连续偏导数,则有公式 OP 00 OR ++o)dv=i prydz+odzdx+ rdxdy s3 ax ay az 关、PR 或( aP a0 aR a x OS 斯公式 (Pcos a+ocos+rcos y)ds ∑ 这里∑是Q2的整个边界曲面的外侧 c0sa,cosB,cosy是∑上点(x,y,x)处的法向 量的方向余弦
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P(x, y,z)、Q(x, y,z)、R(x, y,z)在上具有 一阶连续偏导数, 则有公式 = + + + + dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) P Q R dS dv z R y Q x P ( cos cos cos ) ( ) = + + + + 或 一、高 斯 公 式 这里是的整个边界曲面的外侧， cos,cos ,cos 是上点(x, y,z)处的法向 量的方向余弦. ------------------高斯公式
由两类曲面积分之间的关系知 ① aP, 80, aR 十 ax ay az 0为华 (Pcos a+Q cos B+Rcos r )d Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系
Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. ( cos cos cos ) . ( ) = + + + + P Q R dS dv z R y Q x P 由两类曲面积分之间的关系知
简单的应用 0次或 例1计算曲面积分中dh+ybx+hy,其中∑为柱 体x2+y2≤1被平面z=0,=4所截取的整个表面的外侧 谷2计围叫区攻为 2 共一径+9+2)4M2 2 T L2T 2 A+2+减=(x+8+)=2v
例 1.计算曲面积分 xdydz ydzdx xdxdy + + ,其 中 为 柱 体 2 2 x y + 1被平面 z z = = 0, 4所截取的整个表面的外侧. 二、简单的应用
使用Guas公式时应注意: PQR是对什么变量求偏导数 ①,Q.R- 2.是否满足高斯公式的条件 3.∑是取闭曲面的外侧
使用Guass公式时应注意: 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧