-(。广e 1 =T(e*+1）(e+1）=0. (4.45) 先熟悉以下积分对今后的运算是有益的： einde,0. (4.46) 求平均密度时，取1-立，求平均能丞时，取1= 利用分部积分法，得 (4.47) (4.47)式的行边第项显然是零. 令 e=u十xkT, (4.48) 故(4.47)式可写为 ende )rdx. 1+1 (4.49) 当e=0时x=密，8<0时，张均为零.放下限-称 可代以一∞.(4.49)式可写成： -.+"(0 kTdx. (4.50) 将(4+xT)+1展开，逐项积分，并注意到奇函数积分为零： ∫.+(-0）rd =(-仁+结r× ×a+e+e两+， x'dx (4.51) 35
x'dx 其中 ∫a+te可-2jed(1+e).(4.2) 将(4.52)式被积函数的(1+e)按泰物级数展开得 .a++。可 x'dx =2xedx[1-2e*+3e*-…门 =1-京+京]= (4.53) 在职分运算时，用了以下运算技巧： ∫xedx=∫et (4.54) 将(4.53)式代入(4.51)式得 ∫e,de-1+君+0（好+…小(.5） 精确让算，可以计算更高次的偶次项. 现在我们用级数展开的积分法来计算系统的粒子平均密 度 1 对于电子，自旋方=2，由于在导体内，因此是非相对论性的， hiK2 8= 2m。1 式中m。是电子质量，实际上心子是与品体间有作用的，因此应该 用有效质量m*来代替m。,在这里不准备详细讨论，因为它涉及 到布里渊区的理论问题。 36
系统的平均粒子数 N-PK (4.56) K=4mKdK=2(器)ede. (4.57) 将(4.57)式代入(4.56)式得 V (4.58) 根据以前定义过的费米波数K:和费米能量εr有 N 6r- h2Ki 2m 所以有 v=(0” (4.59) 取(4.55)式中1=2代入(4.58)式得 N=(2u[1+号}+小(4.o) 比较(4.60)式和(4.59)式得 =ar1+8(F+… (4.61) 两边开了次方得 =+g号(+…]小， (4.62) 将4用er表示，得 a=r-品(C八+- (4.63) 37
因为r仅为密度(>)的函数，所以由(4.63)式知 u=4(p,T), 即让是密度和温度的函数 例3自由粒子系统的高温低密度展开」 上个例子，讨论了低温情况下的费米子.现在讨论自由粒子 在温度很高，或密度很低情况下的热力学性质.先引入一个定 义. 定义热波长A= 2π mkT h. (4.64) h 这相当于动能为m汞≈T的波长，自由粒子的平均密度取 决于粒子间的距离，令其间的平均值为d, 例2是相当于d很小的情祝下(d《),它表示动能>T(热 能).现在的例3恰好相反(d>),即波包很小，d很大，相当于 高温或低密度情形.从公式(4.64)也河看出温度高，A小.密度 低，表示d>A. 显然系统的总密度小，每个模式内的粒子数就少.由公式 [“+”对费米子 E一出 eT士1 {“一”对玻色子 知，n,《1,就要e了》1，即4要为负值.故 2=eRT<1. (4.65) 4-e e宁 之eBe 所以 。 4一ε =1±2e-. (4.66) 1土ekT 利用z《1条件，将。对z展开，即可得到高温低密度下的自由粒 子系统的热力学函数： 38
N=(②j+1)y「dKze-3*(1千ze+2e年…).(4.67) 8z3 图dPK=4πKdK=4π}2√ede代入到(4.62)式 十z2e-28下…)， -2法(0)deer(年e+ 十z2e-2a8干…). (4.68) 利Ha=1B=1T.再令ε=y,所以，de=2vdy.因此， j后de-2到yde-28。ey 1/π 2a22 (4.69) e是dee“=a 3√龙 (4.70) 将(4.69)，(4.70)式代入(4.68)式得 N2空（年系， 费米子取“一”（4.71) E-如2Dy之（年"品包子取+”(4.72） 2E 将(4.72)式代入p=3行式得 kT(2j+1) 之()品 (4.73) I= 只要将压强写成湿度和密度的函数，即得软态方程 39