之和. 正则系综给定后，假设只知道系综总能量为8，但并不]道 某系统处在哪个态，我们要问，某系统处在中；态上的儿率是 多少？ 设M裘示在中态上的系统数，E,表示第j个态的能量.显 然，总的系统数 M=2M, (2.5) 系综的总能量 8=M,E,. (2.6) 尽管我们知道了总能耻和总的系统数M,并且给定了一分 布{M},但是各系统的状态仍然没有完全确定.例如，已知有3 个系统在j:态，5个系统在j2态，但是到底哪3个系统在j态，哪 5个系统在2态，还是不确定的.很容易证明，对某一给定分布 {M},系综的态数2为 IM小 (2.7) 证明如下： M个系统所有不同排列的总数是M!,但是在同一状态的系统 之间的交换并不产生新的态，因此，应该把它们除去，于是(2.7) 式得证 现列举一简单的由三个系统构成的小系综为例加以说明，即 M=3. ()如一个系统在j,态，两个系统在j:态，所以系综的态 31 数0-1121 3. (i)如有三个系统在j:态，有0个系统在i:态，所以系综 31_ 的态数2=0131 =1 5
这些简例的果是明显可见的.同理，当M很大时也是正确 的。 由此可知，尽管给定了8，M和分布{M;},系统的状态并不 确定.另一方间，如采仅仅给定了后和M,{M,》分布并不确定， 我们要问，哪种分布《M}的儿率最大？根据(1.4)式的基本假 设，每种分布几率应与所对应的态数2成正比，因为态越多，几 率越大，对分布几率求极大值，就是求2的极大值.利用求微商 的方法并光虑到(2,5)和(2.6)式对M利8给定的约束条件，要引 入两个拉格朗日乘子α和B.所以极值的条件是 a a(∑M）3Me,) aMij Ing-a -=0.(2.8) aMi OM 要淮确计算几落就要要求系综中的系统数很大，但系统本 身不一定很大，任何统计分析问题必须要重复非常多次同样的过 程才能得到较正确的几率.以掷骰子为例，掷骰子的次数越多， 几率就越接近某-一固定数，这见做-·切统计问题的方法，它并不 是一个假设.当M趋向无穷大时，相应地，各M;也趋向无穷大 对于M》1,可以用斯特灵公式(Stirling formula)来近似地代替 阶乘： M1-(0'2a1++a88M+… (2.9) 这一公式收敛得很快，郑使M不很大也是一个很好的近似公式」 读者可以自行证明这一公式.利用斯特灵公式得到 lnQ=MnM-M-∑M,lnM;+∑M. (2.10) 在对？求偏微商时，有两种不同的方法.一种方法是视I 为固定.另一种方法是视M为M:的函数，因此也要对M求偏微 商.不过，所得的结架是一致的，只是α的值相差一个常数.为 简便计，我们采用M面定的方法，得出 6
OIn OM; =一lnM, (2.11) aM 2Mi =1, (2.12) 88=E: a (2.13) 将以上(2.11)、(2.12)和(2.13)式代入(2.8)式得 --In M;-a-BE=0, (2.14) 即 In Mj=-a-BEi, (2.15) 所以 Mj=e-a-BEi. (2.16) (2.16)式表示在正则系综中，在系统数M给定和总能量8周 定的条件下，系统处在第j态上的儿率最大的分布.式中出现了 两个常数a和B,以后对B的物理意义还要讨论， 定义P,表示最大几率分布时，系统处在第j态的几率： e-BE Pi=M (2,17) 2 e-BEj 定义 配分函数Q=∑eE1. (2.18) 它表示各个状态的相对儿率之和.在(2.17)式，配分函数是 作为归一化因子出现的 在求P时就消去了α因子，B因子可以出系统的平均能量 E=哥 (2.19) 来确定， E=古Be. (2.20) 这个等式给出一重要结果：在正则系综中，给定至，而M趋向无 7
限大时，P;和B与M无关. 下面再来证明，在给定系统的和E,当M趋向无穷大时， 以上的几率最大分布就是真实的分布，换言之，涨落趋向于袋 证明如下： 试考虑一函数 f=f(M)=ln2-a∑M-B∑ME1,(2.21) 手达到极值的条件为 af OM; =0. (2.22) 达到极值时，M,=MP;三亚；，P;与M无关. 而 a'f 8'InQ 1 aMaM “i,<0. (2.23)》 由于f的第二项和第三项均为M;的一次式，故对M:二阶以上的 微商均为零。只剩下第一项取不为零的负值.这表明极值是稳定 的. f对M;每求一次微商，其分母就增加一个M:因子.由于 →c∞，M→c∞，所以高次微商很快地趋向零. 用泰勒级数把f(M)在及附近展开： )-)+子 af (M;-)+ +2号影M,-r+ (2.24) =-f(及)-22MP(M1-,)× x{1+o(x)以 (2.25) 8
手的极值为 子=f()=ln-aM-BME. (2.26) 将(2.26)和(2.21)式代入(2.25式)得 ln2=n2-∑(M1-,)22MP, ×{1+o(以， (2.27) 忽略高级项0（器）舟 ∑（及1-M)22MP,, (2,28) 所以 Q=DeP (Mi-i) (2.29) 显然，(2.29)式系高斯分布，如图2.1所示.很像一个8函数. 要证明(2.29)式确是--6函 2 数，只需证明当M→∞时，涨落趋 于零即可. 涨落三√ 福--√ MPi (MP)? →0. (2.30) 0 M 证明：如果有一分布 M P(x)ce-2」 图2.1 显然 2=0, xt x'e 26dx 而 x- (2.31) e 2A dx 这个积分可以筒化： 9