例2求y2=2x及y=x-4所围成图形面积 解作图(如下图) d B 求出交点坐标为4(2,-2),B(8,4).观察图得知,宜取 y为积分变量,y变化范围为[-2,4](考虑一下,若 取x为积分变量,即竖条切割,有什么不方便之处), 于是得dA=[(y+4)-y2jdy A=(0y+4)-y2dy=y2+4 18
例 2 求y 2x 2 = 及y = x − 4所围成图形面积. 解 作图（如下图） 求出交点坐标为A(2,−2),B(8,4). 观察图得知，宜取 y为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若 取 x为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处）， 于是得 ]d , 2 1 d [( 4) 2 A = y + − y y 18. 6 1 4 2 1 ]d 2 1 [( 4) 4 2 4 2 2 2 3 − − = A = y + − y y = y + y − y O y B A 4 -2 y x y+dy
2.极坐标下的面积计算 曲边扇形:是指由曲线r=r(O)及两条射线O=a,O=B所围 成的图形(如右下图) 取θ为积分变量,其变化范围为[a,月],在微小区间[,0+d0] 上“以常代变”,即以小扇形面积dA作为小曲边扇形面积的近似 值,于是得面积微元为 dA=r(e)do 将d4在(,上积分,便得曲边 r=r(0) 扇形面积为 r2(0)d6
2. 极坐标下的面积计算 曲边扇形：是指由曲线r = r( )及两条射线 =, = 所 围 成的图形（如右 下图）. 取 为积分变量，其变化范围为[, ]，在微小区间 [, + d ] 上“以常代变”，即以小扇形面积 dA作为小曲边扇形面积的近似 值，于是得面积微元为 ( )d , 2 1 d 2 A = r 将dA在[, ]上积分,便得曲边 扇形面积为 ( )d . 2 1 2 = A r O x r r = (θ) d
例4计算双纽线r2=a2cos20(a>0)所围成的图形 的面积(如下图所示) 0=%4 解由于图形的对称性,只需求其在第一象限中的面积 再4倍即可,在第一象限θ的变化范围为[0,],于是 A=4×-4a2cos20d0=a2sin2014=a2
例 4 计算双纽线 cos 2 ( 0) 2 2 r = a a 所围成的图 形 的面积（如下图所示）. 解 由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积， 再 4 倍即可，在第一象限 的变化范围为 ] 4 π [0, ，于是 π π 4 2 2 2 4 0 0 1 4 cos2 d sin 2 . 2 A a a a = = = O a y x π θ = 4
例5求心形线r=1+c0s及圆=3c0s所围成的阴影 部分面积(如右下图) 解先求两线交点,以确定θ的变化范围,解方程组 r=1+cos0 r=3cos 0 r=3cos0 由3c0s0=1+c0s9得cos=1,故 r=l+cos0 O 6=±,考虑到图形的对称性,得所求 面积为 A=23(1+c0s02d0+ 2(3cos0)2d0
解 先求两线交点，以确定 的变化范围，解方程组 1 cos , 3cos . r r = + = 由3cos =1+ cos 得 2 1 cos = ，故 3 π = ，考虑到图形的对称性，得所求的 面积为 O 2 x 3 r = 3cosθ r = +1 cos = + + 3 π 0 2 π 3 π 2 2 (3cos ) d 2 1 (1 cos ) d 2 1 A 2 例 5 求心形线 r = +1 cos 及圆r = 3cos 所围成的阴影 部分面积（如右下图）
1+cos 20 9 (+2cos6+ )d0+2(1+cos 20)do 2 0+2sin 0+-sin 20+0+-sin 20 三、用定积分求体积 1.平行截面面积为已知的立体体积 设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求,则该物体 可用定积分求其体积
+ + + = + + 3 π 0 2 π 3 π (1 cos2 )d 2 9 )d 2 1 cos2 (1 2cos 2 π 3 π 3 π 0 sin 2 2 1 2 9 sin 2 4 1 2sin 2 3 + + = + + π. 4 5 = 1. 平行截面面积为已知的立体体积 设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体 可用定积分求其体积. 三、用定积分求体积