微元法中微元的两点说明 (1)f(x)dx作为△F的近似值表达式,应该足够准确,确切 的说,就是要求其差是关于Ax的高阶无穷小.即 △F-f(x)dx=o(△x).这样我们就知道了,称作微元的量 f(x)dx,实际上是所求量的微分dF; (2)具体怎样求微元呢?这是问题的关键,这要分析问 题的实际意义及数量关系,一般按着在局部[x,x+dx]上, 以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路(局部线 性化),写出局部上所求量的近似值,即为微元 dF=f(x)dx
微元法中微元的两点说明： (1) f (x)dx作为ΔF 的近似值表达式，应该足够准确，确切 的说，就是要求其差是关于Δx 的高阶无穷小 . 即 ΔF − f (x)dx = o(Δx) . 这 样 我 们 就 知 道 了 ， 称 作 微 元 的 量 f (x)dx，实际上是所求量的微分 dF ; (2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问 题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 x, x + dx 上， 以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线 性 化 ）， 写 出 局 部 上 所 求 量 的 近 似 值 ， 即 为 微 元 dF = f (x)dx
用定积分求平面图形的面积 1.直角坐标系下的面积计算 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分 (1)曲线y=f(x)(f(x)≥0),x=a,x=b及Ox轴所围 图形,如下页左图,面积微元dA=f(x)dx,面积 A=f(x)dx. (2)由上、下两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)≥g(x)及 x=a,x=b所围成的图形,如下页右图,面积微元 dA=[f(x)-g(x)]dx,面积A=[f(x)-g(x)kdx
1. 直角坐标系下的面积计算 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分. （2） 由上、下两条曲线y = f (x), y = g(x)( f (x) g(x))及 x = a, x = b所围成的图形，如下页右图，面积微元 dA = [ f (x) − g(x)]dx,，面积 = − b a A [ f (x) g(x)]dx . （1） 曲线y = f (x)( f (x) 0),x = a, x = b 及 Ox 轴所围 图形，如下页左图，面积微元dA = f (x)dx，面积 = b a A f (x)dx. 二、用定积分求平面图形的面积
y=f(x) y=f(x x+ o a xx+dx b b x y=8(x) (3)由左右两条曲线x=v(y),x=0(y)及y=c,y=d所 围成图形(图见下页)面积微元(注意,这时就应取横条矩 形dA,即取y为积分变量)d4=[o(y)-v(y)]y,面积 A=L[o(y)-y(y)ldy
（3）由左右两条曲线x =( y), x =( y)及y = c, y = d 所 围成图形（图见下页）面积微元（注意，这时就应取横条矩 形 dA，即取 y为积分变量）dA = [( y) −( y)]dy，面 积 = − d c A [( y) ( y)]dy. O y a x x + dx b x y = f (x) x O y x x + dx a y = f (x) y = g(x) b
J+dI x=(y) x=( xx+ax 例1求两条抛物线y2=x,y=x2所围成的图形的面积 解(1)画出图形简图(如右上图)并求出曲线交 点以确定积分区间
例 1 求两条抛物线 2 2 y = x, y = x 所围成的图形的面积 . 解（1）画出图形简图（如右上图）并求出曲线交 点以确定积分区间： O y x x +dx x 1 (1,1) O y x y c d x y = ( ) x y = ψ( ) y y + d
解方程组yx得交点(0,0)及(1,1) (2)选择积分变量,写出面积微元,本题取竖条或横条作 dA均可,习惯上取竖条,即取x为积分变量,x变化范围为[0, 1],于是 dA=(x-x)dx, (3)将A表示成定积分,并计算
解方程组 = = , , 2 2 y x y x 得交点（0，0）及（1，1）. (2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 dA均可，习惯上取竖条，即取 x 为积分变量，x 变化范围为[0， 1 ]，于是 d ( )d , 2 A = x − x x (3)将A表示成定积分，并计算 = = − = − 1 0 1 0 2 3 3 2 3. 1 3 1 3 2 A ( x x )dx x x