A+Bu …A+B, 4+B= A1+B1 … A+B 12|34 1 11 1 4321 2 例A= B= 6 5 78 0 0 0 0 87 6 5 -1 -1 -1 -1 2345\ 654 A+B= 3 56 78 A,+B,=(12)+(11)=(23) (7 6 5 4) 作A+B运算，要求对A和B的行、列的分法相同。 A A AA 2)A:设A= : 为数，那么几A= A A 1A1 入A 作)A运算，对A的分法无要求。 3)AB:设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，分块成 A B B A= B= A B B C AB= 其中C,=∑AB,(=1,…,sj=l…,r)。 Ca C 作AB运算，要求对A的列的分法与B的行的分法相同。 1 00 [101 0 0 0 10 -1201 例 设A= B= 求AB。 -121 1041 1101 -1-120 解：把A,B分块成 9
19 11 11 1 1 1 1 r r s s sr sr AB AB A B AB AB ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ + + " # # " 。 例 1234 4321 5678 8765 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 1111 2222 0000 1111 B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − −−− 2345 6543 5678 7654 A B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 11 11 A B + = += (1 2) (1 1) (2 3) 作 A+B 运算，要求对 A 和 B 的行、列的分法相同。 2) 11 1 1 : ,, r s sr A A A A A A λ λ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " # # " 设 为数 那么 11 1 1 r s sr A A A A A λ λ λ λ λ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " # # " 。 作λA 运算，对 A 的分法无要求。 3) AB A m l B l n : , , 设 为 矩阵 为 矩阵 分块成 × × 11 1 11 1 1 1 , , t r s st t tr AA BB A B AA BB ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠⎝ ⎠ " " ## ## " " 11 1 1 r s sr C C AB C C ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " # # " ( ) 1 1, , ; 1, , t ij ik kj k C AB i s j r = 其中 。 = == ∑ " " 作 AB 运算，要求对 A 的列的分法与 B 的行的分法相同。 例 设 1 000 0 100 , 1210 1 101 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎣ ⎦ 1 0 10 1 2 01 . 1 0 41 1 120 B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− − ⎦ 求 AB。 解：把 A,B 分块成
10 0 0 [1 0 1 0 1 0 0 0 2 0 A= -1 B= 2 0 A 0 41 ] 1 1 0 20 所以 其中 g-6- 4+副 010 201 于是 AB= 433 -1131 (Au … A 4) 设A= 则A= A A A 5) 分块对角阵A= 其中A均为方阵 As 分块对角矩阵的具有下述性质： A 0 0 B 0 0 (AB 0 0 0 A 0 0 B, 0 0 AB2 0 (a) … … … … 0 0 A 0 0 B 0 0 A.B. (b)设A A 20
20 1 1 000 0 100 , 1210 1 101 E O A A E ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 11 21 22 1 0 10 1 2 01 1 0 41 1 120 B E B B B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − 所以 11 11 1 21 22 1 11 21 1 22 EOB E B E AB A E B B AB B A B ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ + + 其中 1 11 21 121 0 1 0 34 1 0 24 1 1 12 1 1 0 2 1 1 11 AB B ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − −− += + = + = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − −− −− − 1 22 12 41 33 1 1 20 31 A B ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − += + = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 于是 1 010 1201 2433 1131 AB ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − = − ⎣ ⎦ − 4) 11 1 1 r s sr A A A A A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " # # " 设 ， 11 1 1 T T s T T T r sr A A A A A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " # # " 则 。 5) 分块对角阵 1 2 , s A A A A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ % . 其中 均为方阵 Ai 分块对角矩阵的具有下述性质： （a） 1 1 11 2 2 22 00 00 0 0 0 00 0 0 0 . 00 00 0 0 s s ss A B AB A B AB A B AB ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ == ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ "" " "" " """" """" " " " " "" " （b） 1 2 , s A A A A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ % 设 1 1 1 1 2 1 s A A A A − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ %
(50 0 例设A= 031 求A。 021 5L0 0 解：A= 0 4-6-日 175 五、 初等矩阵 1.初等矩阵的引入一高斯消元法 高斯消元法是求解线性方程组的一种基本方法。其基本思想是通过消元 变形，把方程组化成容易求解的同解方程组。即得到能直接求出解或者能够 直接判断其无解的通解方程组。 例*解线性方程组 2x+x2-3x3=9, x+x2+x3=4, (1) 3x+5x2+2x3=32 解：Stepl交换第一、 第二个方程位置，得 x+x2+X3=4, 2x+x2-3x=9, (2) 3x+5x2+2x3=32 Step2把第一步中得到的方程组得第一个方程的一2倍加到第二个方程上，得 x+x2+x3=4, -x2-5x3=1, (3) 3x+5x2+2x3=32 21
21 例 设 500 0 3 1, 021 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 A 求 。− 解： 500 031 021 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 A O O A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， A1 = ( ) 5 , 1 1 1 ; 5 A− ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 1 , 2 1 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 1 1 ; 2 3 A− ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 1 1 1 1 2 A O A O A − − − ⎛ ⎞ ∴ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1/5 0 0 0 1 1. 0 23 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 五、 初等矩阵 1. 初等矩阵的引入——高斯消元法 高斯消元法是求解线性方程组的一种基本方法。其基本思想是通过消元 变形，把方程组化成容易求解的同解方程组。即得到能直接求出解或者能够 直接判断其无解的通解方程组。 例* 解线性方程组 12 3 123 12 3 2 3 9, 4, 3 5 2 32. xx x xxx xx x ⎧ +− = ⎪ ⎨ ++= ⎪ ⎩ ++= (1) 解： Step1 交换第一、第二个方程位置，得 123 12 3 12 3 4, 2 3 9, 3 5 2 32. xxx xx x xx x ⎧ ++= ⎪ ⎨ +− = ⎪ ⎩ ++= (2) Step2 把第一步中得到的方程组得第一个方程的－2 倍加到第二个方程上，得 123 2 3 12 3 4, 5 1, 3 5 2 32. xxx x x xx x ⎧ ++= ⎪ ⎨ −− = ⎪ ⎩ ++= (3)
Step3同样的把第一步中得到的方程组的第一个方程的一3倍加到第三个方程 上，得 x+X2+X3=4, -x2-5x3=1 (4) 2x2-X3=20 Step4把上方程组中的第二个方程的2倍加到第三个方程上，得 x+X2+x3=4 -x2-5x3=1 (5) -11x=22. Step4得到的方程组具有这样的特点：自上而下未知数个数依次减少称为阶梯形 状，称这样的方程组为阶梯形方程组。 第三个方程两边同乘以（一1/11）得：x3=一2：将x3=一2代入第二个方程得： x2=9:再将x2=9,x3=一2代入第一个方程得：x1=一3。从而，方程组的解 为： x1=-3,x2=9,x3=-2 (6) 分析上例：我们对方程组反复进行了三种变换，即： (1)互换两个方程的位置： (2)用一个非零数乘某个方程： (3)把一个方程的k倍加到另一个方程上。 我们称这三种变换为线性方程组的初等变换。 说明：线性方程组的初等变换是可逆的。 即，方程组(1)经初等变换化为一个新方程组，那么新方程组也可以经过初等 变换还原为原方程组(1)。因而，方程组(1)与它经过若干此初等变换之后得 到的新方程组是同解的。 2.初等变换 1)定义 矩阵的初等行变换是指下列三种变换： 1)互换矩阵的第i行和第j行的位置；记做：，→5 2)用一个非零数k乘矩阵的第i行：记做：a 22
22 Step3 同样的把第一步中得到的方程组的第一个方程的－3 倍加到第三个方程 上，得 123 2 3 2 3 4, 5 1, 2 20. xxx x x x x ⎧ + + = ⎪ ⎨ − − = ⎪ ⎩ − = (4) Step4 把上方程组中的第二个方程的 2 倍加到第三个方程上，得 123 2 3 3 4, 5 1, 11 22. xxx x x x ⎧ + + = ⎪ ⎨ − − = ⎪ ⎩ − = (5) Step4 得到的方程组具有这样的特点：自上而下未知数个数依次减少称为阶梯形 状，称这样的方程组为阶梯形方程组。 第三个方程两边同乘以（－1/11）得：x3＝－2；将 x3＝－2 代入第二个方程得： x2＝9；再将 x2＝9，x3＝－2 代入第一个方程得：x1＝－3。从而，方程组的解 为： 1 23 x xx = − = =− 3, 9, 2 (6) 分析上例：我们对方程组反复进行了三种变换，即： （1） 互换两个方程的位置； （2） 用一个非零数乘某个方程； （3） 把一个方程的 k 倍加到另一个方程上。 我们称这三种变换为线性方程组的初等变换。 说明：线性方程组的初等变换是可逆的。 即，方程组（1）经初等变换化为一个新方程组，那么新方程组也可以经过初等 变换还原为原方程组（1）。因而，方程组（1）与它经过若干此初等变换之后得 到的新方程组是同解的。 2. 初等变换 1) 定义 矩阵的初等行变换是指下列三种变换： 1）互换矩阵的第 i 行和第 j 行的位置；记做： i j r r ↔ 2）用一个非零数 k 乘矩阵的第 i 行；记做： i kr
3)把矩阵的第j行元的k倍加到第i行上；记做：+k 若把定义中的行换成列，就得到矩阵的三种初等列变换！相应的记为： C,→C,;kc,;C,+kc 初等列变换和初等列变换通称为矩阵的初等变换。 如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,则称A与B行等价，记作 A·→B: 如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,则称A与B列等价，记作 Ac→B: 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称A与B等价，记作 A→B。 ※矩阵之间的等价关系具有下列性质： (1)反身性 A→A (2)对称性 若A→B,则B→A: (3)传递性 若A→B,B→C,则A→C。 ※两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价 说明：对线性方程组施行一次初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一次对 应的初等行变换，而化简线性方程组相当于用初等行变换化简它的增广矩 阵。 例例*中用消元法解线性方程的过程相当于对其增广矩阵施行初等行变换 「21-3 9 1 11 4 11 4 11 1 4 2 1-3 5-2 0 -1-5 -3 35 2 32 3 5232 0 2-120 1 4 「100-3 5+2 0-1 -5 1 i95-55 0109 0 0 -1122 001-2 以最后一个矩阵为增广矩阵的方程组为 23
23 3）把矩阵的第 j 行元的 k 倍加到第 i 行上；记做： i j r kr + 若把定义中的行换成列，就得到矩阵的三种初等列变换！相应的记为： i j c c ↔ ； i kc ； i j c kc + 初等列变换和初等列变换通称为矩阵的初等变换。 如果矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B，则称 A 与 B 行等价，记作 r A⎯⎯→B； 如果矩阵 A 经过有限次初等列变换变成矩阵 B，则称 A 与 B 列等价，记作 c A⎯⎯→B； 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B，则称 A 与 B 等价，记作 A⎯⎯→B。 ※ 矩阵之间的等价关系具有下列性质： （1）反身性 A⎯⎯→ A （2）对称性 若 A⎯⎯→B，则 B ⎯⎯→ A； （3）传递性 若 A⎯⎯→B， B ⎯⎯→C ，则 A⎯⎯→C 。 ※ 两个线性方程组同解,就称这两个线性方程组等价. 说明：对线性方程组施行一次初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一次对 应的初等行变换，而化简线性方程组相当于用初等行变换化简它的增广矩 阵。 例 例*中用消元法解线性方程的过程相当于对其增广矩阵施行初等行变换 12 21 3 1 2 3 21 3 9 11 1 4 1 1 1 4 11 1 4 21 3 9 0 1 5 1 3 5 2 32 3 5 2 32 0 2 1 20 rr r r r r ↔ − − ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ −− ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ − 32 3 3 1 21 2 3 1 , 5 2 11 , 1 1 1 4 100 3 0 1 5 1 010 9 0 0 11 22 0 0 1 2 rr r r r rr r r − − + − −− ⎡ ⎤⎡⎤ − ⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎢ ⎥⎢⎥ → ⎣ ⎦⎣⎦ − − 以最后一个矩阵为增广矩阵的方程组为