∴.H是对称矩阵。 HHT=H2=(E-2XXT) =E-4XX'+4(XX')(XX)=E-4XX7+4X(X'X)X7 =E-4XXT+4XXT=E 例 证明任一n阶矩阵都可表示成对称阵与反称阵之和。 证明设C=A+A 则CI=(A+A)=A+A=C, 所以C为对称矩阵，所以C2也是对称矩阵。 设B=A-AI,则BT=(A-A)T=A-A=-B, 所以B为反对称矩阵，所以B2也是反对称矩阵。 而4=4++4-=S+8,证毕。 2 222 三、 可逆矩阵 1.概念的引入 在数的运算中，当数a≠0时，有 aa"=a"a=l 其中a=1为a的倒数，（或称a的逆）。 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中1，那么，对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A,使得AA=AA=E,则矩阵A称为A的逆矩阵，A称 为可逆矩阵。 2.逆矩阵的概念 定义设A是一个阶方阵，若存在一个阶矩阵B,使得：AB=BA=E, 则称矩阵A可逆，且称B是的逆矩阵，记作A,即A=B. 例 :AB=BA=E,.B是的一个逆矩阵 说明若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的
14 ∴H是对称矩阵。 2 2 (2 ) T T HH H E XX = =− 4 4( )( ) 4 4 ( ) T T T T TT =− + =− + E XX XX XX E XX X X X X 4 4 T T =− + = E XX XX E 例 证明任一n 阶矩阵都可表示成对称阵与反称阵之和。 证明 T 设C AA = + ( ) T TT T 则 ， C AA A AC = + = += 所以 C 为对称矩阵，所以 C/2 也是对称矩阵。 T 设B = − A A ， ( ) T TT T 则 ， B = − = − =− AA A A B 所以 B 为反对称矩阵，所以 B/2 也是反对称矩阵。 2 2 22 T T AA AA C B A + − 而 ，证毕。 = + =+ 三、 可逆矩阵 1. 概念的引入 在数的运算中，当数a ≠ 0时，有 1 1 aa a a 1 − − = = 其中 1 1 a a − = 为a 的倒数，（或称a 的逆）。 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 1，那么，对于矩阵 A， 如果存在一个矩阵 1 A− ，使得 1 1 AA A A E − − = = ，则矩阵 1 A− 称为 A的逆矩阵，A称 为可逆矩阵。 2. 逆矩阵的概念 定义 设 是一个 阶方阵 若存在一个 阶矩阵 A n nB , , 使得: , AB BA E = = 1 1 A BA A A B ,,. − − 则称矩阵 可逆 且称 是 的逆矩阵 记作 ，即 = 例 设 1 1 12 12 , , 1 1 12 12 A B ⎛ ⎞⎛ ⎞ − = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − ∵ AB BA E = = ,∴B A 是 的一个逆矩阵. 说明 若 A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的
证明：若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C 所以A的逆矩阵是唯一的，即B=C=。 2 例 设A= -10 求A的逆矩阵。 解利用待定系数法 设B= 6 是A的逆矩阵， 则 -(08-0 2a+c=1, a=0, --0- 2b+d=0, b=-1, -a=0, c=1, -b=1, d=2. 考查： a-004-8X0-0 所以 3.逆矩阵的运算性质 ()若A何逆，则4'亦可逆，且(A)=A (2)若何道，数*0则何逆，且(4'=r (3)若A可逆，则A也可逆，且(A)=(A)。 证明A(A)=(AA)'=E=E (4)=(r'）。 (4)若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且(AB)=BA~
15 证明： 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有 AB BA E AC CA E = = == , 可得 B == = == EB CA B C AB CE C ( ) ( ) 所以 A 的逆矩阵是唯一的，即 1 B C A− = = 。 例 设 2 1 1 0 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ，求 A 的逆矩阵。 解 利用待定系数法 设 a b B c d ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠是 A 的逆矩阵， 则 2 1 10 10 01 a b AB c d ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − 2 1, 0, 2 2 1 0 2 0, 1, 0 1 0, 1, 1, 2. ac a ac bd bd b ab a c b d ⎧ ⎧ + = = ⎪ ⎪ ⎛ ⎞⎛ ⎞ + + + = =− ⇒ =⇒ ⇒ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎨ ⎨ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − − −= = ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ − = = 考查： 2 1 0 1 0 1 2 1 10 10 1 2 1 2 10 01 AB BA ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − = == = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − ， 所以 1 0 1 1 2 A− ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 3. 逆矩阵的运算性质 ( ) ( ) 1 1 1 1, , . A A AA − − − 若 可逆 则 亦可逆 且 = () ( ) 1 1 1 2 , 0, , . A A AA λλ λ λ − − 若 可逆 数 则 可逆 且 ≠ = (3)若 A 可逆，则 T A 也可逆，且( ) ( ) 1 1 T T A A − − = 。 证明 ( )( ) 1 1 T T T T A A AA E E − − ∵ = == () ( ) 1 1 T T A A − − ∴ = 。 () ( ) 1 1 1 4, , , A B AB AB B A − − − 若 为同阶方阵且均可逆 则 亦可逆 且 =
证明（AB)(B）=A(BB)A=AEA=AA=E ∴(AB)=BA。 推广（44，…Am)广-A…A4。 例 求矩阵X使满足AXB=C。 3-2 解 A= -3/2-35/2, 1-1 又由 AXB=C→AAXBB-I=AΓCB-I→X=ACB 于是X=ACB -21 -32 1 1 1(3 =0-2 (0 25 -2 1 10-4 -104 例设方阵A满足方程A2-A-2E=0,证明A,A+2E都可逆，并求它们的 逆矩阵。 证明由A-A-2E=0,得A(4-E)=2B,→A4:E=E,故4何逆。 2 =4-). 又由A2-A-2E=0 =(4+29(4-39+4E=0=(4+294-3]-E 6
16 证明 ( )( )( ) 11 1 1 1 1 AB B A A BB A AEA AA E −− − − − − = = == ( ) 1 1 1 AB BA − − − ∴ = 。 推广 ( ) 1 1 11 A12 2 1 A A A AA m m − − −− " " = 。 例 设 123 13 2 1 2 2 1, , 2 0 5 3 343 31 A BC ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎛ ⎞ = == ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ， 求矩阵 使满足 X AXB C= 。 解 1 132 32 3 52 , 111 A− ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ =− − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 1 3 1 5 2 B− ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 又由 1 1 11 11 AXB C A AXBB A CB X A CB − − −− −− =⇒ = ⇒ = 于是 1 1 X A CB − − = 1 3 2 13 3 1 32 3 52 2 0 5 2 1 1 1 31 1 1 3 1 0 2 5 2 0 2 2 1 10 4 10 4 ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ − =− − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞ − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 例 设方阵 A 满足方程 2 AAE − − = 2 0，证明 AA E , 2 + 都可逆，并求它们的 逆矩阵。 证明 2 由AAE −− = 2 0 ，得AA E E ( − =) 2 ， 2 A E A E − ⇒ = ，故 可逆 。 A ( ) 1 1 2 A A E − ∴ = − 。 2 又由AAE −− = 2 0 ( )( ) ( ) ( ) 1 2 3 40 2 3 4 A EA E E A E A E E ⎡ ⎤ ⇒ + − + =⇒ + − − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
故4+2E可逆，且(4+2E)=-(4-3E)。 例解矩阵方程 3x-3 w 解( 日r- 给方程两端左乘矩阵 日得 日6)x-到 -6-到- 1-11 给方程两端右乘矩阵 110 211 12 -31-11 2 -5 得X=20 521 0 8 6 0-1 1 9 1-11 1-1 1 4 2 (3)110x1 1 0=0 -15 32 3 12 11 1 1 -1 1) 给方程两端左乘矩阵 11 0 右乘矩阵 11 0 32 321 1
17 2 故 可逆 ， A E + ( ) ( ) 1 1 2 3 4 A E AE − 且 + =− − 。 例 解矩阵方程 （1） 1 5 32 1 4 14 X ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ − ； （2） 1 11 1 2 3 110 20 4 211 0 15 X ⎛ ⎞⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ − ； （3） 1 11 1 11 4 2 3 1 1 0 1 1 0 0 15 211 321 211 X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 。 解 ( ) 1 5 32 1 1 4 14 X ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ − 给方程两端左乘矩阵 1 1 5 1 4 − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ，得 1 1 1 5 1 5 1 5 32 1 4 1 4 1 4 14 X − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ −− − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ −− − 1 1 5 3 2 4 5 3 2 17 28 1 4 14 1 114 4 6 X − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − −− − − ⇒= = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − −− − − 。 ( ) 1 11 1 2 3 2 110 20 4 211 0 15 X ⎛ ⎞⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ − 给方程两端右乘矩阵 1 1 11 110 211 − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 得 1 1 2 3 1 11 2 9 5 20 4 110 2 8 6 0 1 5 2 1 1 4 14 9 X − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −− − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = =− − ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − −− 。 ( ) 1 11 1 11 4 2 3 3 1 1 0 1 1 0 0 15 321 321 211 X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 给方程两端左乘矩阵 1 1 11 110 321 − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，右乘矩阵 1 1 11 110 321 − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
1-1 得 Y= -1 3 2 1 2 -54 21 -21 -47 1/2 例 设三阶矩阵A,B满足关系：ABA=6A+BA,且A= /4 求B。 y7 解： ABA-BA=6A→(A1-E)BA=6A→(A1-E)B=6E→B=6(A1-E)°。 1001 030=601/3 1 0 60 0 0 020 006 001/6 001 四、 分块矩阵 在矩阵的运算中，人们经常用若干条横线和纵线把矩阵分成若干块，目的是 简化矩阵运算。每一小块叫做矩阵的子块（子矩阵），并且把每个子块在运算中 直接看作是矩阵地元素一样。这种以子块为元素的形式上的矩阵，就是分块矩阵。 通过适当地分块，不仅可以利用子块的特点简化运算，而且使得矩阵结构简洁清 晰，意义更加明确。 1.分块矩阵的运算规则 1)A+B:同型矩阵，分法相同，对应子块相加。 A A B A= B= A… A Ba …B 其中A与B的行数相同，列数相同，那末
18 得 1 1 1 11 4 2 3 1 11 1 1 0 0 15 1 1 0 321 211321 X − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 3 1 4 2 3 1 3 1 9 54 21 1 2 1 0 1 5 1 2 1 9 54 21 1 5 2 2 1 1 1 5 2 21 120 47 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − −− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =− − − − − = − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −− −− − 。 例 设三阶矩阵 满足关系 A B, : 1 1 2 6 , 14 1 7 A BA A BA A − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =+ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 且 ，求 B。 解： ( ) ( ) () 1 111 1 A BA BA A A E BA A A E B E B A E 6 6 66 − −−− − − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒= − 。 ( ) 1 1 1 1 200 100 100 6 6 0 4 0 0 1 0 60 3 0 007 001 006 B AE − − − − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = −= − = ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 100 1 0 0 600 6 0 3 0 6 0 13 0 0 2 0 0 0 6 0 0 16 0 0 1 − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ == = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 。 四、 分块矩阵 在矩阵的运算中，人们经常用若干条横线和纵线把矩阵分成若干块，目的是 简化矩阵运算。每一小块叫做矩阵的子块（子矩阵），并且把每个子块在运算中 直接看作是矩阵地元素一样。这种以子块为元素的形式上的矩阵，就是分块矩阵。 通过适当地分块，不仅可以利用子块的特点简化运算，而且使得矩阵结构简洁清 晰，意义更加明确。 1. 分块矩阵的运算规则 1) A+B：同型矩阵，分法相同，对应子块相加。 11 1 11 1 1 1 , r r s sr s sr AA BB A B AA BB ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠⎝ ⎠ " " ## ## " " , , 其中 与 的行数相同 列数相同 那末 A B ij ij