12 3 72 0 0 例 己知A= 2 -2 ,B= 3 -2 0 0) -10 求2A,2A-B 1 2 3 2 4 6 解 2A=2 2 -2 2 4 -44 0 1 0 0 2 2A-B=2A+(-B)=2A+(-1)B 4 6 -20 0 0 -4 -3 2 02 0 1 0 2)数乘矩阵的运算规律 设A、B为mXn矩阵，入、μ为数 ()(2）A=(uA): (2)(2+）A=A+4A; (3)(A+B)=A+B. 矩阵加法、减法、数乘统称为矩阵的线性运算 3.矩阵的乘法 矩阵乘法是出于研究线性方程组以及线性变换的乘法的需要建立起来的。 1)定义 定义设A=(a,)mx，B=(亿)n,规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个mXn 矩阵C=(c)mm,记作AB,即C=AB=(c)。其中 G=a,+a+ta6,-2a6 (i=l,2,…mj=1,2,…,n) 9
9 例 123 2 2 2, 010 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 已知 2 00 3 21 101 B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 求 2 , 2 . A A B− 解 123 246 2 22 2 2 4 4 4 010 020 A ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = − =− ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 2 ( ) 2 ( 1) A− = +− = +− BA B A B 2 4 6 20 0 0 4 6 4 44 32 1 1 2 3 020 10 1 12 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − +− − = − ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − − 。 2) 数乘矩阵的运算规律 设 A、B 为 m×n 矩阵，λ、μ为数 ( )( ) 1 ; λμ λ μ A = ( A) ( )( ) 2 ; λ + =+ μ λμ A A A () ( ) 3 . λ A+= + B AB λ λ 矩阵加法、减法、数乘统称为矩阵的线性运算. 3. 矩阵的乘法 矩阵乘法是出于研究线性方程组以及线性变换的乘法的需要建立起来的。 1) 定义 定义 设 ( ) , ( ) Aa Bb = = ij m s ij s n × × ，规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m×n 矩阵 ( ) C c = ij m n× ，记作 AB，即 ( ) C AB c = = ij 。其中 11 2 2 1 ( 1,2, ; 1,2, , ) s ij i j i j is sj ik kj k c ab ab ab ab i m j n = = + ++ = = = " "" ∑
a12 as a … azs … 设 b21b2 ②⑨ ⑥ … dm am2 Cu 9 Cin : =AB= C … Cml … C … Cm=ab,+a2b2,+…+abg 注：要求A的列数与B的行数相等。 1 例 己知A= 求AB,AC 解 AB= 湖 AC- 因为A的列数不等于C的行数，因此不可乘。 2)矩阵乘法的运算规律 (1)(AB)C=4(BC): (2)A(B+C)=AB+AC.(B+C)A=BA+CA; (3)2(AB)=(24)B=A(2B),(其中为数)： (4)AE=EA=A. (5)()AB=(A)(uB)=(HA)(B): 0
10 设 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 , s s m s i i is m m ms aa a aa a A aa a aa a × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " ## # " ## # " 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 j n j n s n s s sj sn bb b b bb b b B bb b b × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " " " ## # # " " 11 1 1 1 1 j n m n i ij in m mj mn ccc C AB ccc ccc × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ " " ### " " ### " " ij i j i j is sj 11 2 2 c ab ab ab = + ++ " 注：要求 A 的列数与 B 的行数相等。 例 已知 1 1 2 0 3 1 A ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 10 11 11 0 1 B ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ， 2 1 0 1 1 1 C ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 求 , AB AC 解 1 1 2 1 12 10 11 2 0 2 0 22 11 0 1 3 1 2 1 32 AB ⎛⎞ ⎛ ⎞ − −− ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ − = =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ⎝⎠ ⎝ ⎠ − 1 12 1 20 01 31 1 1 AC ⎛ ⎞⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − 因为 A 的列数不等于 C 的行数，因此不可乘。 2) 矩阵乘法的运算规律 ( )( ) ( ) 1 ; AB C A BC = () ( ) ( ) 2 ,; A B C AB AC B C A BA CA += + + = + () ( ) 3 λ AB AB A B = = (λ λ ) () ，（其中λ为数）； ( ) 4 ; AE EA A = = ( ) 5 ( ) ( )( ) ( )( ); λμ λ μ μ λ AB AB AB = =
(6)若A是阶方阵，则记A=44…4,并称之为的k次幂，易知(4A)”=Am, k个A A"A=Am+n。 注意矩阵一般不满足交换律。即AB≠BA: AB=0A=0,B=0;A≠0，AC=BCA=B 例设48=（则a-004-3 故AB≠BA。 但也有例外，比如设 4-68-日1则-a4-(32到 若AB=BA, 则称A与B可交换。 例计算下列乘积： 2 2 6 12) 1 (12) (2)(1,-1,0) 49 42 0 3 -810 33八 -1 2 2×1 2×2 2 4 解 (1) -2 (12)= -2×1 -2×2 -2 -4 3 3×1 3×2 /3x2 6 6 (2) (1,-1,0) 4 9 -8 0 定义方阵多项式 设有n阶矩阵A和多项式f2)=an入"+an-1入m-+…+a,2+a 规定f(A)=amAm+am-1Am-+…+aA+a,E 称f(A)为方阵A的矩阵多项式。 「1-1 2 例设有多项式∫()=12-3+2和矩阵A= 01 求矩阵多项式 L121 f(A)。 11
11 A (6) , , k k A n A AA A = " 个 若 是 阶方阵 则记 并称之为 的 次幂 A k , 易 知 ( ) k m km A A = ， m n mn AA A + = 。 注意 矩阵一般不满足交换律。即 AB BA ≠ ； 0 AB = ⇒ A B = = 0, 0 ； A AC BC ≠ = 0, ⇒ A = B 例 设 1 1 1 1 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ， 1 1 1 1 B ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ，则 0 0 0 0 AB ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠， 2 2 2 2 BA ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − ，故 。 AB BA ≠ 但也有例外，比如设 2 0 0 2 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 1 1 1 1 B ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ，则 2 2 2 2 AB BA ⎛ ⎞ − = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 若 AB=BA, 则称 A 与 B 可交换。 例 计算下列乘积： 2 (1) 2 (1 2) 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) 2 6 12 1 (2) 1, 1,0 4 9 42 0 8 10 33 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎝ ⎠⎝ ⎠ − − 解 ( ) 3 2 2 21 22 2 4 (1) 2 1 2 2 1 2 2 2 4 3 31 32 3 6 × ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ × × ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − = −× −× = − − ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ × × () ( ) 2 6 12 1 1 (2) 1, 1,0 4 9 42 0 2 , 3, 30 0 (28) 8 10 33 1 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − = − −− = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −− − 定义 方阵多项式 设有 n 阶矩阵 A 和多项式 1 1 10 ( ) m m m m f λλ λ λ a a aa − = + ++ + − " 规定 1 1 10 ( ) m m m m f A a A a A aA aE − = + ++ + − " 称 f ( ) A 为方阵 A的矩阵多项式。 例 设有多项式 f (λ) = λ2－ 3λ + 2 和矩阵 1 12 01 1 12 1 A ⎡ − ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，求矩阵多项式 f ( ) A
解 因为A 泥剖 [3 -3 3A=03 3 3 6 则 f(A)=A2-3A+2E 「3 2 5 -3 6 「2 0 07 2 5 -1 -1-1 0 3 3 0 2 0 -2 2 6 0 2 -3 0 4.矩阵的其它运算 1)矩阵的转置、转置矩阵 ◆定义把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵， 记作A”。 1 4 例 2 8 B=(186),B= 18 69 ◆转置矩阵的运算性质 (@)(4)=4 (2)(A+B)'-A+B; (3)(4)'=1A; (4)(AB)=BA (5)R(A)=R(A) 下面对第(4)个性质进行证明。 证明 设A=(a)mxs,B=(b)n 记AB=C=(C)mm,B'A'=D=(d)m要证Cn=d
12 解 因为 2 1 12 1 12 3 2 5 0 1 10 1 1 1 1 2 12 112 1 2 3 1 A ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − − =− − − ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 36 3 03 3 36 3 A ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 则 ( ) 2-3 2 3 2 5 3 3 6 200 2 5 1 1 1 2 0 3 3 020 1 2 1 2 3 1 3 6 3 002 1 3 0 f A AAE = + ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =− − − − − + =− − ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − − 4. 矩阵的其它运算 1) 矩阵的转置、转置矩阵 定义 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 A 的转置矩阵， 记作 AΤ。 例 122 458 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠， 1 4 2 5 2 8 T A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； B = ( ) 18 6 ， 18 6 T B ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠。 转置矩阵的运算性质 ( ) 1 ; ( )T T A A = ( )( ) 2 ; T T T A+ =+ B AB ( )( ) 3 ; T T λ λ A = A ( )( ) 4 . T T T AB BA = (5) ( ) ( ) T R A RA = 下面对第（4）个性质进行证明。 证明 ( ) , ( ) , 设 Aa Bb = = ij m s ij s n × × ( ) , 记 AB C c = = ij m n× ( ) . T T BA D d = = ij n m× ji ij 要证 c d =
Cn=aibui+abi++aisbsi d,=b,a1+b,a2+…+bas 例 已知 17-1 20 1 求(AB). 0 17 ∴(AB)= 1413 -310 解法2 (AB)T=BTAT 4 2 2 0 17 0 14 13 2)对称矩阵与反称矩阵 定义设A为n阶方阵，如果满足A=A,即a=am(,j=1,2,…,n),那末 A称为对称矩阵。 126 1 例如A= 6 8 为对称矩阵 (10 说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。 如果A=一A则矩阵A称为反对称矩阵。 例设列矩阵X=(x,,,x)'满足XX=1,E为n阶单位矩阵， H=E-2XX,证明H是对称矩阵，且HH'=E。 证明H=(E-2XX)'=E-2(Xx)y=E-2XxT=H, 3
13 ji j i j i js si 11 2 2 c ab ab ab = + ++ " ij i j i j si js 11 2 2 d ba ba ba = + ++ " 例 已知 17 1 20 1 , 42 3, 13 2 20 1 A B ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) . T 求 AB 解法 1 17 1 2 0 1 0 14 3 42 3 , 1 3 2 17 13 10 20 1 AB ⎛ ⎞ − ⎛⎞ ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ = = ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∵ ( ) 0 17 14 13 . 3 10 T AB ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∴ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 解法 2 ( )T TT AB B A = 1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 3 14 13 1 3 1 1 2 3 10 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − −− 。 2) 对称矩阵与反称矩阵 定义 设 A为n 阶方阵，如果满足 T A A = ，即a a ij n ij ji = = ( , 1, 2, , " ) ，那末 A称为对称矩阵。 12 6 1 6 80 . 1 06 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 例如 为对称矩阵 说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。 T 如果 则矩阵 称为反对称矩阵。 AA A = − 例 设列矩阵 ( ) 1 2 ,,, T X n = xx x " 满 足 1 T X X = ， E 为 n 阶单位矩阵， 2 T H E XX = − ，证明 H 是对称矩阵，且 T HH E = 。 证明 ( ) 2 2( ) 2 T T T T TT T ∵H E XX E XX E XX H = − = − =− =