工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 王光建周磊邹帅东 Measurement and prediction of backlash based on two-sided transmission error WANG Guang-jian,ZHOU Lei,ZOU Shuai-dong 引用本文： 王光建，周磊，邹帅东.基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测[.工程科学学报，2020,42(8)：1055-1064.doi: 10.13374j.issn2095-9389.2019.10.18.004 WANG Guang-jian,ZHOU Lei,ZOU Shuai-dong.Measurement and prediction of backlash based on two-sided transmission error[J].Chinese Journal of Engineering,2020,42(8):1055-1064.doi:10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.18.004 在线阅读View online::https:/doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.10.18.004 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 基于二步法的多芯电缆非侵入式电流测量校正方法 Calibration method for the noninvasive current measurement of multicore cables based on two-step estimation 工程科学学报.2017,3912：1898htps:/doi.org10.13374.issn2095-9389.2017.12.017 基于高炉料线的RCS测量及SAR成像验证 RCS measurement and SAR imaging verification based on blast furnace stock line 工程科学学报.2018.40(8：979htps:/doi.org10.13374.issn2095-9389.2018.08.012 基于极限学习机ELM)的连铸坯质量预测 Quality prediction of the continuous casting bloom based on the extreme learning machine 工程科学学报.2018,40(7)：815 https::1doi.og/10.13374.issn2095-9389.2018.07.007 高温应变栅丝蠕变对应变测量精度影响与补偿 Influence of high temperature strain grid wire creep on strain measurement precision and its compensation 工程科学学报.2017,391：88 https:ldoi.org/10.13374j.issn2095-9389.2017.01.012 基于膏体稳定系数的级配表征及屈服应力预测 Grading characterization and yield stress prediction based on paste stability coefficient 工程科学学报.2018.40(10：1168 https:/doi.org10.13374.issn2095-9389.2018.10.003 基于光电容积脉搏波的有限空间生理疲劳测量 Confined space physiological fatigue measurement based on photoplethysmography pulse wave signal 工程科学学报.2018.40(10：1215htps:/doi.org/10.13374.issn2095-9389.2018.10.008
基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 王光建 周磊 邹帅东 Measurement and prediction of backlash based on two-sided transmission error WANG Guang-jian, ZHOU Lei, ZOU Shuai-dong 引用本文: 王光建, 周磊, 邹帅东. 基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测[J]. 工程科学学报, 2020, 42(8): 1055-1064. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.18.004 WANG Guang-jian, ZHOU Lei, ZOU Shuai-dong. Measurement and prediction of backlash based on two-sided transmission error[J]. Chinese Journal of Engineering, 2020, 42(8): 1055-1064. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.18.004 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.18.004 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 基于二步法的多芯电缆非侵入式电流测量校正方法 Calibration method for the noninvasive current measurement of multicore cables based on two-step estimation 工程科学学报. 2017, 39(12): 1898 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.12.017 基于高炉料线的RCS测量及SAR成像验证 RCS measurement and SAR imaging verification based on blast furnace stock line 工程科学学报. 2018, 40(8): 979 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.08.012 基于极限学习机(ELM)的连铸坯质量预测 Quality prediction of the continuous casting bloom based on the extreme learning machine 工程科学学报. 2018, 40(7): 815 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.07.007 高温应变栅丝蠕变对应变测量精度影响与补偿 Influence of high temperature strain grid wire creep on strain measurement precision and its compensation 工程科学学报. 2017, 39(1): 88 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.01.012 基于膏体稳定系数的级配表征及屈服应力预测 Grading characterization and yield stress prediction based on paste stability coefficient 工程科学学报. 2018, 40(10): 1168 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.10.003 基于光电容积脉搏波的有限空间生理疲劳测量 Confined space physiological fatigue measurement based on photoplethysmography pulse wave signal 工程科学学报. 2018, 40(10): 1215 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.10.008
工程科学学报.第42卷，第8期：1055-1064.2020年8月 Chinese Journal of Engineering,Vol.42,No.8:1055-1064,August 2020 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.18.004;http://cje.ustb.edu.cn 基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 王光建12区，周磊3)，邹帅东13) 1)重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆4000442)重庆大学汽车工程学院.重庆4000443)重庆大学机械工程学院，重庆400044 ☒通信作者，E-mail:gjwang@cqu.edu.cn 摘要提出了基于双偏心误差齿轮副的驱动齿面与齿背面（双齿面）无负载传动误差计算模型，建立与时变侧隙计算公式 的等价关系，从理论上证明了基于双齿面传动误差的侧隙测量方法.通过实验方法测量不同负载力矩、不同初始啮合面的双 面传动误差并获得相应载荷下的初始回差.基于双齿面传动误差实验曲线，实现了对齿轮副整个大周期侧隙的连续测量与 预测.结果表明，连续侧隙曲线与机械滞后回差法测量结果吻合良好，而侧隙预测较好地反应了侧隙值变化范围和变化趋势 司时，侧隙连续测量方法及侧隙预测均证明了理论模型的正确性，提高了侧隙测量效率并获得了更全面的侧隙数据，对齿轮 传动的非线性研究、消隙控制以及齿轮精度研究等均具有指导意义和参考价值. 关键词时变侧隙：双齿面传动误差；连续测量：侧隙预测：偏心误差 分类号TH132.4 Measurement and prediction of backlash based on two-sided transmission error WANG Guang-jian,ZHOU Lei,ZOU Shuai-dong 1)State Key Laboratory of Mechanical Transmissions,Chongqing University,Chongqing 400044,China 2)School of Automotive Engineering.Chongqing University,Chongqing 400044,China 3)College of Mechanical Engineering,Chongqing University,Chongqing 400044,China Corresponding author,E-mail:gjwang@cqu.edu.cn ABSTRACT Transmission error in gear system and backlash are important factors that affect the accuracy of precision transmission systems.The main sources of the complete cycle transmission errors and periodic backlash are eccentric errors due to imperfections in machining and assembling.Therefore,analyzing the transmission error in gear system and backlash under the effect of eccentricity error is necessary.Scholars from around the world have conducted extensive research on the transmission error of the gear system.They observed that the back-side contact of the gear tooth generally happens in high-speed light-load conditions,or when alternate load torque occurs or anti-backlash gear has been used.However,the existing literature does not evidently show the calculation method of the transmission error of the back-side tooth mesh.Therefore,analyzing the transmission error of the back-side tooth mesh is of great significance.The present work develops a calculation model of drive-and back-side(two-sided)transmission error of an involute gear pair with eccentricities to construct the equivalence of time-varying backlash calculation formula to demonstrate the continuous measurement of gear backlash based on two-sided transmission error that can also be realized in theory.The experimental transmission error and the corresponding hysteresis were acquired under various load torques and different initial conditions,such as initial position of the gear unit.The continuous backlash curve of the gear pair was obtained from the two-sided transmission curves,and the backlash of the whole cycle could be predicted.The result of the experiment shows that the continuous measurement curve agrees with the mechanical hysteresis method,and the prediction of backlash perfectly reflects the variation range and trend of backlash.Moreover,both the continuous measurement method of backlash and prediction of backlash demonstrate that the model is practicable and have higher 收稿日期：2019-10-18 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51275538)：上海市空间飞行器机构重点实验室开放课题(SM2014D101)
基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 王光建1,2) 苣，周 磊1,3)，邹帅东1,3) 1) 重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆 400044 2) 重庆大学汽车工程学院，重庆 400044 3) 重庆大学机械工程学院，重庆 400044 苣通信作者，E-mail：gjwang@cqu.edu.cn 摘 要 提出了基于双偏心误差齿轮副的驱动齿面与齿背面（双齿面）无负载传动误差计算模型，建立与时变侧隙计算公式 的等价关系，从理论上证明了基于双齿面传动误差的侧隙测量方法. 通过实验方法测量不同负载力矩、不同初始啮合面的双 面传动误差并获得相应载荷下的初始回差. 基于双齿面传动误差实验曲线，实现了对齿轮副整个大周期侧隙的连续测量与 预测. 结果表明，连续侧隙曲线与机械滞后回差法测量结果吻合良好，而侧隙预测较好地反应了侧隙值变化范围和变化趋势. 同时，侧隙连续测量方法及侧隙预测均证明了理论模型的正确性，提高了侧隙测量效率并获得了更全面的侧隙数据，对齿轮 传动的非线性研究、消隙控制以及齿轮精度研究等均具有指导意义和参考价值. 关键词 时变侧隙；双齿面传动误差；连续测量；侧隙预测；偏心误差 分类号 TH132.4 Measurement and prediction of backlash based on two-sided transmission error WANG Guang-jian1,2) 苣 ，ZHOU Lei1,3) ，ZOU Shuai-dong1,3) 1) State Key Laboratory of Mechanical Transmissions, Chongqing University, Chongqing 400044, China 2) School of Automotive Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China 3) College of Mechanical Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China 苣 Corresponding author, E-mail: gjwang@cqu.edu.cn ABSTRACT Transmission error in gear system and backlash are important factors that affect the accuracy of precision transmission systems. The main sources of the complete cycle transmission errors and periodic backlash are eccentric errors due to imperfections in machining and assembling. Therefore, analyzing the transmission error in gear system and backlash under the effect of eccentricity error is necessary. Scholars from around the world have conducted extensive research on the transmission error of the gear system. They observed that the back-side contact of the gear tooth generally happens in high-speed light-load conditions, or when alternate load torque occurs or anti-backlash gear has been used. However, the existing literature does not evidently show the calculation method of the transmission error of the back-side tooth mesh. Therefore, analyzing the transmission error of the back-side tooth mesh is of great significance. The present work develops a calculation model of drive- and back-side (two-sided) transmission error of an involute gear pair with eccentricities to construct the equivalence of time-varying backlash calculation formula to demonstrate the continuous measurement of gear backlash based on two-sided transmission error that can also be realized in theory. The experimental transmission error and the corresponding hysteresis were acquired under various load torques and different initial conditions, such as initial position of the gear unit. The continuous backlash curve of the gear pair was obtained from the two-sided transmission curves, and the backlash of the whole cycle could be predicted. The result of the experiment shows that the continuous measurement curve agrees with the mechanical hysteresis method, and the prediction of backlash perfectly reflects the variation range and trend of backlash. Moreover, both the continuous measurement method of backlash and prediction of backlash demonstrate that the model is practicable and have higher 收稿日期: 2019−10−18 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 (51275538)；上海市空间飞行器机构重点实验室开放课题 (SM2014D101) 工程科学学报，第 42 卷，第 8 期：1055−1064，2020 年 8 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 42, No. 8: 1055−1064, August 2020 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.18.004; http://cje.ustb.edu.cn
·1056 工程科学学报，第42卷，第8期 efficiency,and the overall data retain instructional significance,reference value for nonlinear research,anti-backlash control,and gear accuracy of gear transmission KEY WORDS time-varying backlash;two-sided transmission error;continuous measurement;backlash prediction;eccentric error 齿轮传动误差和侧隙是影响精密传动系统运动 线，推导由变形引起的回差与负载力矩的关系，从 准确性的重要因素，而由于加工、装配等导致的偏 而得到无负载双齿面传动误差曲线，最终获得连 心误差（包括轴、齿轮、轴承等制造及装配误差） 续侧隙曲线.同时根据齿背面传动误差曲线及其 是大周期传动误差和周期性侧隙的主要来源-] 理论模型，拟合得到齿轮副偏心误差及初始相位， 因此有必要分析研究偏心误差作用下的齿轮传动 实现对整个大周期侧隙值的快速预测 误差和侧隙 1双面传动误差与侧隙理论模型 国内外学者对齿轮系统传动误差进行了较多 研究.文献[4]按照传动比的高和低，分别用两种 1.1双面无负载传动误差 不同的计算公式对误差进行相位补偿，文献[⑤]~[6)] 定义因轴承、轴及齿轮等加工及装配误差导 指出其不足并在其基础上采用解析法推导出偏心误 致主动轮几何中心与其实际旋转中心的偏移量 差的齿轮副传动误差公式.由于解析法求解过程 e1为主动轮综合偏心误差，见图1，则当轮齿啮合 复杂，啮合线增量法计算传动误差较为简单，应用 面为驱动齿面时，其啮合线增量计算如下， 更为普遍，如文献[1，文献[7)~[8]通过啮合线增 △F1d=e1sin(p1+a+6) (1) 量法分别计算了具有偏心误差的外啮合齿轮副， 当轮齿啮合面为齿背面时，其啮合线增量为， NGW行星减速器的传动误差.而在高速轻载或交 △F1b=e1sin(p1-a+i) (2) 变负载力矩齿轮传动以及无隙啮合传动中，通常 会出现轮齿齿背面啮合1)]，但上述计算传动误差 式中：△F1(包括△F1和△F1b)为主动轮偏心导致的 啮合线增量；p1为主动轮任意时刻的转动角位移； 的文献中并未明确指出齿背面啮合传动误差计算方 e1和01为主动轮偏心误差及其初始相位；a为齿轮 法，因此分析计算齿背面传动误差具有重要意义. 副压力角.其中，定义与主动轮旋转方向一致的齿 由于齿轮侧隙的强非线性，其直接影响伺服 控制的稳定性、响应性、精度和系统敏感度：同 面为驱动齿面，与主动轮旋转方向相反的齿面为 齿背面，如图1所示 时对于精密传动系统，特别在轻载高速工况下，侧 隙也是影响齿轮动态特性的重要因素5-因此 同理，定义从动轮几何中心与其实际旋转中心 通过测量获得全面的齿轮侧隙数据具有重要意 的偏移量e2为从动轮综合偏心误差，见图2，则当轮 义.而目前齿轮侧隙的测量方法主要包括塞尺 齿啮合面为驱动齿面时，其啮合线增量计算如下， 法、百分表法、度盘法、自整角机法和机械滞后回 △F2a=e2sin(p2-a+) (3) 差法等，测试数据离散，数据不全面，效率较低 当轮齿啮合面为齿背面时，其啮合线增量为， 本文提出一种基于双齿面传动误差的侧隙连 △F2b=e2sin(p2+a+h) (4) 续测量新方法.通过建立双面传动误差计算模型， 式中：△F2(包括△F2a和△F2b)为从动轮偏心导致的 建立与侧隙计算公式等价关系.并通过实验方法 啮合线增量；P2为从动轮任意时刻的转动角位移： 得到不同负载力矩下的双齿面动态传动误差曲 e2和2为从动轮偏心误差及其初始相位 (a) (b) Back-side Drive-side △F Driving gear Driven gear Driving gear Driven gear 图1主动轮偏心误差下啮合线增量计算模型.()啮合齿面为驱动齿面：(b)啮合齿面为齿背面 Fig.I Engagement increment calculation model with eccentric error of pinion:(a)drive-side meshing;(b)back-side meshing
efficiency, and the overall data retain instructional significance, reference value for nonlinear research, anti-backlash control, and gear accuracy of gear transmission. KEY WORDS time-varying backlash；two-sided transmission error；continuous measurement；backlash prediction；eccentric error 齿轮传动误差和侧隙是影响精密传动系统运动 准确性的重要因素，而由于加工、装配等导致的偏 心误差（包括轴、齿轮、轴承等制造及装配误差） 是大周期传动误差和周期性侧隙的主要来源[1−3] . 因此有必要分析研究偏心误差作用下的齿轮传动 误差和侧隙. 国内外学者对齿轮系统传动误差进行了较多 研究. 文献 [4] 按照传动比的高和低，分别用两种 不同的计算公式对误差进行相位补偿，文献 [5]～[6] 指出其不足并在其基础上采用解析法推导出偏心误 差的齿轮副传动误差公式. 由于解析法求解过程 复杂，啮合线增量法计算传动误差较为简单，应用 更为普遍，如文献 [1]，文献 [7]～[8] 通过啮合线增 量法分别计算了具有偏心误差的外啮合齿轮副， NGW 行星减速器的传动误差. 而在高速轻载或交 变负载力矩齿轮传动以及无隙啮合传动中，通常 会出现轮齿齿背面啮合[9−13] ，但上述计算传动误差 的文献中并未明确指出齿背面啮合传动误差计算方 法，因此分析计算齿背面传动误差具有重要意义. 由于齿轮侧隙的强非线性，其直接影响伺服 控制的稳定性、响应性、精度和系统敏感度[14] ；同 时对于精密传动系统，特别在轻载高速工况下，侧 隙也是影响齿轮动态特性的重要因素[15−19] . 因此 通过测量获得全面的齿轮侧隙数据具有重要意 义. 而目前齿轮侧隙的测量方法[20] 主要包括塞尺 法、百分表法、度盘法、自整角机法和机械滞后回 差法等，测试数据离散，数据不全面，效率较低. 本文提出一种基于双齿面传动误差的侧隙连 续测量新方法. 通过建立双面传动误差计算模型， 建立与侧隙计算公式等价关系. 并通过实验方法 得到不同负载力矩下的双齿面动态传动误差曲 线，推导由变形引起的回差与负载力矩的关系，从 而得到无负载双齿面传动误差曲线，最终获得连 续侧隙曲线. 同时根据齿背面传动误差曲线及其 理论模型，拟合得到齿轮副偏心误差及初始相位， 实现对整个大周期侧隙值的快速预测. 1 双面传动误差与侧隙理论模型 1.1 双面无负载传动误差 定义因轴承、轴及齿轮等加工及装配误差导 致主动轮几何中心与其实际旋转中心的偏移量 e1 为主动轮综合偏心误差，见图 1，则当轮齿啮合 面为驱动齿面时，其啮合线增量计算如下， ∆F1d = e1 sin(φ1 +α+θ1) （1） 当轮齿啮合面为齿背面时，其啮合线增量为， ∆F1b = e1 sin(φ1 −α+θ1) （2） ∆F1 ∆F1d ∆F1b φ1 e1 θ1 α 式中： （包括 和 ）为主动轮偏心导致的 啮合线增量； 为主动轮任意时刻的转动角位移； 和 为主动轮偏心误差及其初始相位； 为齿轮 副压力角. 其中，定义与主动轮旋转方向一致的齿 面为驱动齿面，与主动轮旋转方向相反的齿面为 齿背面，如图 1 所示. 同理，定义从动轮几何中心与其实际旋转中心 的偏移量 e2 为从动轮综合偏心误差，见图 2，则当轮 齿啮合面为驱动齿面时，其啮合线增量计算如下， ∆F2d = e2 sin(φ2 −α+θ2) （3） 当轮齿啮合面为齿背面时，其啮合线增量为， ∆F2b = e2 sin(φ2 +α+θ2) （4） ∆F2 ∆F2d ∆F2b φ2 e2 θ2 式中： （包括 和 ）为从动轮偏心导致的 啮合线增量； 为从动轮任意时刻的转动角位移； 和 为从动轮偏心误差及其初始相位. (a) φ1+α+θ1 ΔF1d φ1 e1 α θ1 Drive-side Driving gear Driven gear (b) φ1−α+θ1 ΔF1b φ1 e1 α θ1 Back-side Driving gear Driven gear 图 1 主动轮偏心误差下啮合线增量计算模型. （a）啮合齿面为驱动齿面；（b）啮合齿面为齿背面 Fig.1 Engagement increment calculation model with eccentric error of pinion: (a) drive-side meshing; (b) back-side meshing · 1056 · 工程科学学报，第 42 卷，第 8 期
王光建等：基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 1057· (a) 0:+0:-a (b) 0t8+a △F Driven gear Driving ge Driving gea Driven gear 图2从动轮偏心误差下啮合线增量计算模型.()啮合齿面为驱动齿面：(b)啮合齿面为齿背面 Fig.2 Engagement increment calculation model with eccentric error of driven gear:(a)drive-side meshing,(b)back-side meshing 定义仅由偏心引起的传动误差为无负载传动 其中，a为齿轮副安装中心距，由于e1<a,e2<a,因此， 误差（后面实验研究的由偏心误差、刚度、负载及 180×2sina jN≈ ×[e2cos(p2+2)-e1cos(p1+)】 时变侧隙引起的传动误差定义为动态传动误差)， R2cosa (9) 将啮合齿面不同情况下的主从动轮啮合线增量转 化为从动轮旋转角度，则可分别得到驱动齿面与 由公式(9)易知初始变值侧隙为， o= 180×2sina 齿背面无负载传动误差 ×(e2cos02-e1cos8i) (10) πR2cosa 180 △中a= -x πR2COs 因此，齿轮副总侧隙及初始总侧隙可表示为， (5) [e1 sin(o+a+01)+e2sin(2-a+)- jo=jiv +jc (11) e sin(a+1)-e2sin(-a+6)] joo=jvo+je (12) 180 ATb=Ra cosa 式中：w、jo、je、jeo及j分别为齿轮副变值侧隙， (6) [e1sin(p1-a+0)+e2sin(p2+a+02)- 初始变值侧隙，总侧隙，初始总侧隙及常值侧隙， ei sin(-a+01)-e2 sin(a+02)] 单位均为度（°） 式中：△为驱动齿面啮合时无负载传动误差； 13双齿面无负载传动误差与侧隙关系 △血为齿背面啮合时无负载传动误差，单位均为度 通过前文计算公式可知， ():R2为从动轮分度圆半径 △a+jp=△a+jN+je 1.2侧隙理论计算模型 180 齿轮传动的侧隙通常包括常值侧隙和周期性 xei sin(o+a+01) Rcosa 变值侧隙)，其中常值侧隙主要由齿厚偏差、中心 +e2 sin(2-a+62)-el sin(a+1)- 距误差等引起；周期性变值侧隙主要由轴承、轴及 齿轮等制造、装配偏心误差引起.周期性变值侧 180×2sina e2 sin(-a+62)]+ πR2Cosa 隙计算如下： le2 cos(2+62)-e cos(+1)]+jc [a+e2cos(2+0)-e1 cos(1+61) jv= (13) +[e1sin(p1+0)-e2sin(p2+2)2 180 xel sin(o1-a+01)+ 180×2sina R2 cosa R2 cosa e2sin(2+a+02)-e1sin(-a+0)- (7) 将上式用牛顿二项式定理展开，得， 180×2sina e2 sin(a+2)]+ 180x2sina πR2coSa Jv= ×{e2cos(p2+2)-e1cos(91+0)+ πR2CoSa [e2 cos(02)-e1 cos(01)]+jc 1 eisin(1+01)-e2sin(2+) 2(a+e2cos(2+0)-ei cos(1+0)) l=△+je0 1 [eisin(1+0)-e2sin(+)]2 由上式可知，齿轮副侧隙可间接通过驱动齿 2[a+eacos(p0)-e1cosp 面无负载传动误差及含初始侧隙的齿背面无负载 (8) 传动误差得到
定义仅由偏心引起的传动误差为无负载传动 误差（后面实验研究的由偏心误差、刚度、负载及 时变侧隙引起的传动误差定义为动态传动误差）， 将啮合齿面不同情况下的主从动轮啮合线增量转 化为从动轮旋转角度，则可分别得到驱动齿面与 齿背面无负载传动误差. ∆ϕd = 180 πR2 cosα × [e1 sin(φ1 +α+θ1)+e2 sin(φ2 −α+θ2)− e1 sin(α+θ1)−e2 sin(−α+θ2)] （5） ∆πb = 180 πR2 cosα × [ e1 sin(φ1 −α+θ1)+e2 sin(φ2 +α+θ2)− e1 sin(−α+θ1)−e2 sin(α+θ2)] （6） ∆ϕd ∆ϕb R2 式中 ： 为驱动齿面啮合时无负载传动误差 ； 为齿背面啮合时无负载传动误差，单位均为度 (°)； 为从动轮分度圆半径. 1.2 侧隙理论计算模型 齿轮传动的侧隙通常包括常值侧隙和周期性 变值侧隙[21] ，其中常值侧隙主要由齿厚偏差、中心 距误差等引起；周期性变值侧隙主要由轴承、轴及 齿轮等制造、装配偏心误差引起. 周期性变值侧 隙计算如下： jv = vt [a+e2 cos(φ2 +θ2)−e1 cos(φ1 +θ1)] 2 +[e1 sin(φ1 +θ1)−e2 sin(φ2 +θ2)]2 −a × 180×2 sinα πR2 cosα （7） 将上式用牛顿二项式定理展开，得， jv= 180×2sinα πR2 cosα × {e2 cos(φ2+θ2)−e1cos(φ1+θ1)+ 1 2 e1sin(φ1 +θ1)−e2sin(φ2 +θ2) (a+e2 cos(φ2 +θ2)−e1 cos(φ1 +θ1)) + 1 2 [e1sin(φ1 +θ1)−e2sin(φ2 +θ2)]2 [a+e2 cos(φ2 +θ2)−e1 cos(φ1 +θ1)]3 +...} （8） 其中，a 为齿轮副安装中心距，由于 e1<<a, e2<<a，因此， jv ≈ 180×2 sinα πR2 cosα ×[e2 cos(φ2 +θ2)−e1 cos(φ1 +θ1)] （9） 由公式（9）易知初始变值侧隙为， jv0 = 180×2 sinα πR2 cosα ×(e2 cos θ2 −e1 cos θ1) （10） 因此，齿轮副总侧隙及初始总侧隙可表示为， jφ = jv + jc （11） jφ0 = jv0 + jc （12） 式中： jv、 jv0、 jφ、 jφ0 及 jc分别为齿轮副变值侧隙， 初始变值侧隙，总侧隙，初始总侧隙及常值侧隙， 单位均为度 (°). 1.3 双齿面无负载传动误差与侧隙关系 通过前文计算公式可知， ∆ϕd + jφ = ∆ϕd + jv + jc = 180 πR2 cosα × [ e1 sin(φ1 +α+θ1) +e2 sin(φ2 −α+θ2)−e1 sin(α+θ1)− e2 sin(−α+θ2)]+ 180×2 sinα πR2 cosα × [e2 cos(φ2 +θ2)−e1 cos(φ1 +θ1)]+ jc = 180 πR2 cosα × [ e1 sin(φ1 −α+θ1)+ e2 sin(φ2 +α+θ2)−e1 sin(−α+θ1)− e2 sin(α+θ2)]+ 180×2 sinα πR2 cosα × [e2 cos(θ2)−e1 cos(θ1)]+ jc = ∆ϕb + jφ0 （13） 由上式可知，齿轮副侧隙可间接通过驱动齿 面无负载传动误差及含初始侧隙的齿背面无负载 传动误差得到. (a) φ2+θ2−α ΔF2d φ2 e2 α θ2 Driving gear Driven gear (b) φ2+θ2+α φ ΔF2b 2 e2 α θ2 Driving gear Driven gear 图 2 从动轮偏心误差下啮合线增量计算模型. （a）啮合齿面为驱动齿面；（b）啮合齿面为齿背面 Fig.2 Engagement increment calculation model with eccentric error of driven gear: (a) drive-side meshing; (b) back-side meshing 王光建等： 基于双齿面传动误差的侧隙连续测量与预测 · 1057 ·
·1058 工程科学学报，第42卷，第8期 2双齿面传动误差测量 差曲线为初始无侧隙齿背面传动误差.由于主从 动轮齿数的关系，当主动轮旋转16圈，从动轮旋 2.1实验装置及参数 转9圈时，齿轮啮合的轮齿相同，齿轮副回到初始 实验装置如图3，实验系统包括驱动电机、变 测试起点.为方便进行实验结果比较，主动轮每次 齿厚齿轮副、编码器、负载电机、滚珠花键副、数 均由相同起始位置开始，起始位置的精度由编码 据采集系统、电机的控制器、直线执行器、消隙控 器保证.实验中为保证实验数据的可靠性，每组数 制器以及上位机等.通过控制器1控制驱动电机 据均进行重复性实验 旋转，控制器2控制负载电机提供实验所需负载， 2.3传动误差实验曲线与初步分析 主从动轮转动角度分别通过编码器1和2测量，测 按图4~图5所示初始位置，分别进行不同负 量的角位移数据由数据采集系统采集并带入公式(14) 载力矩下的双齿面传动误差曲线测量，实验结果 计算，从而获得双齿面实验传动误差曲线.由于本 如图6~图9.定义回差为负载下实验装置的变形 实验仅涉及传动误差及侧隙测量，并未涉及消隙 与齿轮副侧隙值之和，即 实验，因此消隙控制器及直线执行器未使用，但连 续侧隙的测试对消隙控制研究具有重要意义2-2刘 B=je+△d (15) 此外，本装置中的变齿厚齿轮副属于渐开线齿轮 式中，B为回差，△为负载引起的变形 副一种，因此上述建立的传动误差及侧隙理论模 因此，初始时刻的回差（以下简称初始回差） 型仍然适用.实验参数及齿轮副参数如表1 为负载引起的变形和齿轮副初始侧隙之和，即 △0=925-9 (16) (14) B0=je0+△6k i 式中，Bo为初始回差 式中，△中为传动误差，2分别为编码器2测量角位 由实验装置图3可知，负载引起的变形和齿轮 移，1为编码器1测量角位移，为传动比 副初始侧隙为编码器2在初始时刻测量所得角度 2.2双齿面传动误差测量 值的绝对值，而初始时刻编码器1测量角度值 当驱动电机驱动主动齿轮旋转，其方向与负 载力矩方向均为逆时针时，若启动时开始接触齿 9=0,因此， 面为驱动齿面，如图4(a).实验所测的传动误差曲 (17) 线为初始无侧隙驱动齿面传动误差：若启动时开 始接触齿面为齿背面，如图4(b),则实验所测的传 式中，B为初始回差，△为传动误差初始值 动误差曲线为含初始侧隙的驱动齿面传动误差 由公式(17)知，初始回差即为初始时刻传动 当驱动电机驱动主动齿轮逆时针旋转，负载力矩 误差值绝对值.图6(a)中为不同负载的驱动齿面 方向为顺时针方向时，若启动时开始接触齿面为 传动误差曲线，同时由于初始接触齿面为驱动齿 驱动齿面，如图5(a),实验所测的传动误差曲线为 面，即齿轮副初始侧隙为零，联立公式(16)及(17) 含初始侧隙的齿背面传动误差；若启动时开始接 可知，传动误差曲线的初始时刻值的绝对值（即初 触齿面为齿背面，如图5(b),则实验所测的传动误 始回差)等于负载引起的变形值.当负载力矩为零 Conical involute gear pair Coupling-1 flange Hos comp Controller-2 Acoucmon Ach acto spnir Couplingin Coupling moto 图3传动误差及侧隙测量实验装置图 Fig.3 Experimental device for transmission error and backlash measurement
2 双齿面传动误差测量 2.1 实验装置及参数 实验装置如图 3，实验系统包括驱动电机、变 齿厚齿轮副、编码器、负载电机、滚珠花键副、数 据采集系统、电机的控制器、直线执行器、消隙控 制器以及上位机等. 通过控制器 1 控制驱动电机 旋转，控制器 2 控制负载电机提供实验所需负载， 主从动轮转动角度分别通过编码器 1 和 2 测量，测 量的角位移数据由数据采集系统采集并带入公式（14） 计算，从而获得双齿面实验传动误差曲线. 由于本 实验仅涉及传动误差及侧隙测量，并未涉及消隙 实验，因此消隙控制器及直线执行器未使用，但连 续侧隙的测试对消隙控制研究具有重要意义[22−24] . 此外，本装置中的变齿厚齿轮副属于渐开线齿轮 副一种，因此上述建立的传动误差及侧隙理论模 型仍然适用. 实验参数及齿轮副参数如表 1. ∆ϕ = φ2s − φ1s i （14） ∆ϕ φ2s φ1s i 式中， 为传动误差， 分别为编码器 2 测量角位 移， 为编码器 1 测量角位移， 为传动比. 2.2 双齿面传动误差测量 当驱动电机驱动主动齿轮旋转，其方向与负 载力矩方向均为逆时针时，若启动时开始接触齿 面为驱动齿面，如图 4（a），实验所测的传动误差曲 线为初始无侧隙驱动齿面传动误差；若启动时开 始接触齿面为齿背面，如图 4（b），则实验所测的传 动误差曲线为含初始侧隙的驱动齿面传动误差. 当驱动电机驱动主动齿轮逆时针旋转，负载力矩 方向为顺时针方向时，若启动时开始接触齿面为 驱动齿面，如图 5（a），实验所测的传动误差曲线为 含初始侧隙的齿背面传动误差；若启动时开始接 触齿面为齿背面，如图 5（b），则实验所测的传动误 差曲线为初始无侧隙齿背面传动误差. 由于主从 动轮齿数的关系，当主动轮旋转 16 圈，从动轮旋 转 9 圈时，齿轮啮合的轮齿相同，齿轮副回到初始 测试起点. 为方便进行实验结果比较，主动轮每次 均由相同起始位置开始，起始位置的精度由编码 器保证. 实验中为保证实验数据的可靠性，每组数 据均进行重复性实验. 2.3 传动误差实验曲线与初步分析 按图 4～图 5 所示初始位置，分别进行不同负 载力矩下的双齿面传动误差曲线测量，实验结果 如图 6～图 9. 定义回差为负载下实验装置的变形 与齿轮副侧隙值之和，即 B = jφ + ∆δk （15） 式中， B 为回差， ∆δk 为负载引起的变形. 因此，初始时刻的回差（以下简称初始回差） 为负载引起的变形和齿轮副初始侧隙之和，即 B0 = jφ0 + ∆δk （16） 式中， B0 为初始回差 φ 0 2s φ 0 1s = 0 由实验装置图 3 可知，负载引起的变形和齿轮 副初始侧隙为编码器 2 在初始时刻测量所得角度 值 的绝对值，而初始时刻编码器 1 测量角度值 ，因此， B0 = φ 0 2s = φ 0 2s − φ 0 1s i = ∆ϕ 0 （17） B0 ∆ϕ 式中， 为初始回差， 0 为传动误差初始值. 由公式（17）知，初始回差即为初始时刻传动 误差值绝对值. 图 6（a）中为不同负载的驱动齿面 传动误差曲线，同时由于初始接触齿面为驱动齿 面，即齿轮副初始侧隙为零，联立公式（16）及（17） 可知，传动误差曲线的初始时刻值的绝对值（即初 始回差）等于负载引起的变形值. 当负载力矩为零 Conical involute Motor gear pair Angular displacement sensor-1 and mounting Coupling-1 flange Host computer Anti-backlash controller Acquisition system Controller-2 Controller-l Rolling spline pair Angular displacement Coupling-3 Load motor sensor-2 and mounting flange Linear Coupling-2 actuator 图 3 传动误差及侧隙测量实验装置图 Fig.3 Experimental device for transmission error and backlash measurement · 1058 · 工程科学学报，第 42 卷，第 8 期