区域的严格定义: 1.每一点都是内点(开集性)——一对比开区间 2.任意两点都可用一条由点集D的点组成的曲线 连接(连通性) 有关例子: (1)ZKR是以Z=0为圆心,R为半径的一个开圆 对比开区域D (2)Z=R是以Z=0为圆心,R为半径的圆周 开区域D的边界线 (3)|Z≤R是以Z=0为圆心,R为半径的一个闭圆 闭区域D
区域的严格定义： 1．每一点都是内点（开集性）——对比开区间 2．任意两点都可用一条由点集 D 的点组成的曲线 连接（连通性） 有关例子： (1) |Z|<R 是以 Z=0 为圆心，R 为半径的一个开圆 ——对比开区域 D (2) |Z|=R 是以 Z=0 为圆心，R 为半径的圆周—— 开区域 D 的边界线 (3) |Z| R 是以 Z=0 为圆心，R 为半径的一个闭圆 ——闭区域 ≤ D
单连通区域和复连通区域 (1)边界由一条闭合曲线L组成; (2)边界由两条不相连接的闭合曲线L和L2组成 (3)边界由三条不相连接的闭合曲线L1,L2和l3组成。 定义:连通阶数区域不相连接的边界数目n。 n=1:单连通区域 n1:复连通区域 区别:区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点。 连续变形:变形时不能通过不属于D的区域。 降低连通阶数的方法 做割线将两条边界线连接起来。 用处:可将单连通区域成立的定理推广到复连通区域
单连通区域和复连通区域 (1)边界由一条闭合曲线 L 组成； (2)边界由两条不相连接的闭合曲线 和 组成； (3)边界由三条不相连接的闭合曲线 ， 和 组成。 定义：连通阶数——区域不相连接的边界数目 n。 n=1：单连通区域 n>1：复连通区域 区别：区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点。 连续变形：变形时不能通过不属于 D 的区域。 降低连通阶数的方法： 做割线将两条边界线连接起来。 用处：可将单连通区域成立的定理推广到复连通区域。 L1 L 2 L1 L 2 L3
、复变函数的几何意义——由z平面到w平面的映射 单值实变量函数y=f(x),可表示为平面上的一条曲线 单值复变量函数:自变量z-x+iy,复变函数w=f(z)=u+iv 四个实变量:xyuⅴ不能用二维、三维空间中的几何图形表 小Z,f(z) 办法:可用z平面上的点(xy)表示自变量z的值,而用 另一个W平面上的点(uv)表示复变函数w=f(z) =u+iv的值。 对应关系f(z):从z平面到w平面的一个映射—复变函 数的几何意义
三、复变函数的几何意义—— 由 z平面到 w平面的映射 单值实变量函数 y=f （ x ），可表示为平面上的一条曲线。 单值复变量函数：自变量 z=x+iy，复变函数 w=f （ z ）=u+i v 四个实变量：x,y,u,v 不能用二维、三维空间中的几何图形表 示 z，f （ z ） 办法：可用 z 平面上的点（x,y）表示自变量 z 的值，而用 另一个 w 平面上的点（u,v）表示复变函数 w=f （ z ） =u+iv 的值。 对应关系 f （ z ）：从 z 平面到 w 平面的一个映射——复变函 数的几何意义
四、初等复变函数(类型,性质) 基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、 反三角函数、双曲函数 初等函数:以上基本初等函数经有限次四则运算及有限项 复合而得到 实变函数的性质:奇偶性,周期性,单调性,有限性, 对于复变函数,除了关心上述性质外,还关心 实变函数的公式能否推广? 新的性质?
四、初等复变函数 （类型，性质） 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、 反三角函数、双曲函数 初等函数：以上基本初等函数经有限次四则运算及有限项 复合而得到 实变函数的性质：奇偶性，周期性，单调性,有限性, … 对于复变函数，除了关心上述性质外，还关心： 实变函数的公式能否推广？ 新的性质？
多项式 2=C+C2+C2 +.+. C C复常数 h-0 正整数 2.有理函数: +a12+a22-+ P(z) M++++Q(二) a,b为复常数n:正整数,且分母Q()不为0
1．多项式： ∑ = = + + + + = n k k k n n f z c c z c z c z c z 0 2 0 1 2 ( ) …… Ck: 复常数 n：正整数 2．有理函数： ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 2 0 1 2 Q z P z f z n n n n b b z b z b z a a z a z a z = = + + + + + + + + …… …… ak，bk为复常数 n：正整数,且分母 Q(z)不为 0