表明 er=ey=0 (1-29) 如果取E沿z方向并绕z轴转π/2,显然将可以按相同的办法证 明 (1-30) 这样,我们就证明了,ea的非对角元都等于0,(1-24)式将化为 D Esc (1-31) 再取电场沿[111]方向,贝 尊重相关知识产权! D E (1-32) D 绕[111转动2π/3,使z轴转到原x轴,轴转到原y轴,y轴转 到原z轴,电位移欠量转动后应写成 D' D Dy-:D (1-33) D=D=e 和前面论证一样,电场实际未变,晶体所经历的是一个对称操作, 晶体也完全不变,所以,D′应和D相同,从而由(1-32)和(1-33)得 到 1-34) 这样就证明了,在具有立方对称的品体中 (1-35) 以上对子介电常数的论证和结论显然适用于一切具有二阶张 量形式的去观性质(如电导率、热导率……等),另外,还值得注 意,以上的论证,并未引用立方对称的全部对称操作,一个正四面 休也具有以上用到的对称操作,因此,对于只具有四间体对称的晶 体,以上的结论也是成立的 可以利用另外一种方法遝明1:述结果,设对称操作对应的正
交变换矩阵为 相 a1a12213 A=la21 a22a 33 32 且有 (1-37) 介电常数二阶帐量表示成 E12 2 &r 222 &23 (1-38 et 在坐标变换下,二阶张量变换规律为 e=Aea-i=dea (133 写成分量 caicai 1-40 又因为A为对称操作,操作前后晶体自身重合,所以有 e=E (1-41) 写成分量 ∑ aaia s (1-42) 给出了e之间的相互联系,例如立方晶体,选取对称操作A为 绕z轴转。,其变换矩阵为 a1!a12a13 a 28
cos,-in。,0 重相关知识产权! sin, Cos 0 10 00 0 代人(1-42)式得到 212 e12 e (1-:4) 又因为介电常数本身性质有 e12=e21 (1-45) 所以 e12=E2=0 146) 进一步选择另外对称操作,同理,可以得到 8. =end (1-47) 这种办法很容易推广到n阶张量.由于晶体对称性,使得晶 体中那些具有n阶张量形式的宏观物理量(如弹性模量为四阶张 量),其系数也有一定的性质.一个n阶张量用Tra表示,在 坐标变换下有 ∑ara;:a (1-48) 若A为对称操作有 里m.:=1t (1-49) 从而得到了系数之间的关系,可以简化阶张量 s1-6点群 已经指出,晶体的宏观对称是在晶体原子的周期排列基础上
产生的,一个重要的后果是宏观对称可能有的对称操作受到严格 限. 前而已经看到品体的周期性是用一定的布拉伐格子{1a1+l2 a2+l3a}来表征的.晶体本身既然经历对称橾作后不变,那末,表 征它的周期性布拉伐格子显然经过对称操作地必须和原来重 合.设想有意对称操作转角为0,我们属出布伐格字中垂直 转轴的晶面,在这个晶面内可以选取基矢a1、a2,晶面上所有布拉 伐格点均可表示为 l, a1+l2a2 (1-50) 称位于原点的格点为A,由它画出α1达到的格点为B,如图1-31 如绕A转6角,则将使B格点转到点B位置,H于转动不改变格 子,在B′处必定原来就有一格点.因为B和A完全等价,所以转 动也同样可以绕B进行,设想绕B转一θ角,这将使A格点转至图 中A位置,说明A处原来他必要有一格点,BA′应可以按(1-50) 式表示,但是由图可见,它与a1平行,所以只能是a1整数倍 BA'EnAB 其中"为整数,根据图形的几何关系得 BA′=AB(1-2cos9) (1-51 图1-31转动变的心意图 图1-32晶格中不可能存在五重轴的示意图
或 7=(1-2cos (1-52) 因为cos6必须在1到一1之间,只能有10,1,2,3五个值相 应地 e=0°,60°,90°,120°,180° 由于以上论证只假没了布拉伐格子的存在,这就表明,不论任何 晶体,它的宏观对称只可能有下列几种对称素 ,2 4;6 1,2 上述结果也可以直观的来理解.长方形正三角形,正方逆, 延六边联可以在平而内周期的重复排列而共它的正边形,如 图1-32中的正五边形,却不可能相互贴紧做周期的重复排列.因 此在品体中只可能有上述10种对称素,而不可能有5重轴7重 轴……等对称素 在以上十种对称素的基础上组成的对称模作群,一般称为点 群由对称素组合成群时,对称轴间的夹角、对称轴的数目,受 到严格献限制.例如,若有两个二重轴,它们之间的夹角只能是 30°、45°、60°、90°.再如,若存在一个n重轴和与之垂直的二重 轴,就一定存在n个与之垂直的二重 轴,在这里我们不打算介绍对称秦组 合时必须遵从的定理,只就上囿的例 子来简单说明,这种严格的限制是对 称操作群的闭合性的结果.设想一个 2-g 群包含两个二重轴2和2′,如图1-33, 它们之间触夹角用6表示,考虑先后 N 绕2和2转动x,称它们为A操作和 B操作.显然,与它们垂直的轴上的图133两个二重轴之时的火角 任意一点N,先转到N,最后又转间到原来位置N,这表明B、A 柜乘得到的操作 3I·