(a) 6) 本复制品 图1-26立方晶铬中的对油重和关知识产权! 的立方休对角线,共8个对称操作 以后将说明,正交变换 010 即不动,也算一个对称操作,这样加起来,一共是24个对称操作 显然,中心反演可以使立方体保持不变,因此,以上每一个转 动加中心反演都仍是对称操作 以上便是立方体所具有的全部对称操作,总共为48个 (2)正四面体我们采取与立方体对比的办法,找出正四面 体的所有对称操作,如图1-27所示,把立方体相隔的四个顶点如 图中的ABCD,联结起来就构成正四面体,显然正四面体的对称 操作都包含于正立方体对称操作之中 绕立方轴转2、“2不再是对称操作,保留了绕立方轴转 的对称操作,三个立方轴共3个对称操作绕面对角线转兀,不再 是对称操作,保留了绕体对角线转2/3、4/3的对称操作,四条 体对角线,共8个对称操作;加上不动,一共是12个对称操作,也 就是说在正立方体24个纯转动的对称操作中,正四面体保留了 中的12个, 22
B C 图t27共四面体 图1-28六角密排晶格中的对称轴 中心反演显然不再是正四面体的对称操作,因而,上述保留下 的12个转动加上中心反演以后也不再是对称操作,仔细分析会发 现上述去掉的12个转动操作即绕立方轴转/2、3丌/2;绕面对角 线转x,加上中心反演以后是正四面体的对称操作.也就是说在立 方体的含中心反演的24个对称操作中,正四面体也是保留了其中 的12个 总之,正四面体有24个对称操作 (3)正六角柱如图1-28所示,它所具有的对称操作如下: 绕中心轴线转π/3、2π/3、、4/3、5π/3共5个对称操作 绕对棱中点联线转x,如图1-28所示共有三个这样的联线(实 线),共三个对称操作 绕相对面中心的联线转,如图128所示也是共有三条(虚 线),共三个对称操作 加上不动,共有12个对称操作 以上每一府称操作加上中心反演仍然为对称操作,这样得到 步全部24个对称操作 在县体概括一个物体的对称性时,为了简便,有时不去一一列 ·23
举所有对称操作,而是描述它所具有的“对称素”若一个物体绕某 个转轴转2丌/m以及它的倍数不变时,这个轴便称为物体的n重 旋转轴,记作n,若一个物体对绕某一转轴转一加上中市反演的 联合操作以及其联合操作的倍数不变时,这个辅便称为物体的n重 旋转-反演轴.记作元,例如:立方体对称中,立方轴为4重轴(记 作4)同时也是4重旋转反演轴(记作4);而对角线为2重轴(记 作2)同时也是2重旋转…反演轴(记作2)!体对角线为3重轴(记 作3)同时也是3重旋转-反演轴(记作3).而对于正四面体对 称,立方轴为4重旋转反演轴而不是4重轴;面对角线为2重旋 转-反演轴,而不是2重轴;体对角线是3重轴而不是三重旋转反 演轴.一个物体的旋转轴或旋转-反演轴统称为物体的“对称素” 显然,列举出-个物体的对称素和列举对称操作一样,只是更为简 便 值得指出对称素2代表先转动丌再对原点做中心反演,如图 1-29所示,参见图中所示A点经转动到A,再经反演到A",很容 易看出,A"正好是A点在通过原点垂直转轴的平面M的镜象.因 此,2实际表明存在一个对称面M,因此,这个对称素一般称为镜 面,并另引入符号m表示(有时也用∝表示) 下面,我们粗浅地说明一下对称操作群的概念一个物体全 部对称操作的集合,构成对称操作群,前面说过,为了描述物体的 对称性,需要找出物体全部对称操作,实际上就是找出它所具有的 对称操作群 从数学上来看,群代表一组“元素”的集合,G≡{E,A,B,C, …}这些“元素”被赋予一定“乘法法则”,满足下列性质: (1)集合G中任意两个元素的“采积”仍为集合内的元素,即 若A、B∈G,则AB=C∈G, 这个性质叫做群的闭合性
C 图1-29能亓 1-30连续进行对称操作趵实馋 (2)存在单位元素E,使得所有元素满足 4=A (3)对于任意元素A,存在逆元素A1,有 44-l=E (4)元紊间的“乘法运算”滿足结合律 A(BC)=(AB)C 例如,所有正实数(0除外)的集合,以普道乘法为运算法则,1 为单位元素,x的通为,组成正实数群,所有整数的集合,以加 法为运算法则,0为单位元素,a的逆为-a,组成整数群 个物体全部对称操作的集合,也满足上述群的定义.这时 的运算法则就是“连续作”,不动操作为单位元素,绕轴转θ角的 逆为绕该轴转-θ角;中心反演的逆还是中心反演,下面我们简要 说明之,首先我们意两个操作A和B,它们先后连续进行,效果 将相当于另一个操作C.例如,参见图1-30的立方体,考虑先后 绕OA和OC旋转x/2,很容易验证,顶角S将回到原处,而顶角 T将转到丌处,整个变化可以看作一个转动,S和O未动,表明 它们是在旋转轴上,绕这个轴转动2x/3使T转到T.如果以矩 阵表示,代表A、B两个操作连续进行的操作C,它的矩阵就等于B 和矩阵的乘积
=B4 显然如果A和B是一个物体对称操作,物体先后经历A和B是 不改变的,这表明两个对称操作和B的“乘积”C也是物体的 个对称操作.这一个物体全部对猕搡作将构成一个闭合的体 系,称为对称操作群,晶体对称性的系统理论就是建立在群”的数 学理论砠之上的 相关知识产权! 最后作为一个例子,我们应用对称操作的概态,证明具有立 方对称h晶体的介电性可以归结为一个标量介电常数 按照…般表示 ∑EapE(2ap (1-24) 其中α,β表示沿y,z轴的分量,我们选取x、y、沿立方晶休 的三个立方轴的方向 显然,一般地讲,如果把电场E和晶体同时转动,D也将作杓 同转动,我馆将以D′表示转动后的矢量 设E沿y轴,这时(1-24)式将归结为 D.see, d=ee d,see (1-25) 现在考虑把勗体和电场同时绕y辅转动r/2,使z轴转到x轴, 轴转到-z轴,D将作相同转动,因此 Dx=D=exe Dy=D B (1-26) D 但是,转动是以E方向为轴的,所以,实际上电场并未改变,同时, 上述转动是立方晶体的一个对称操作,所以转动前后晶体应没有 任何差别,所以电位移矢量实际上应当不变,即 (1-27) 代入(1-25)和(1-26)就得到 (1-28) 26