C=BA 不改变这个轴,因此只能是…个绕垂直2和2′的轴的转动.C的 转角以这样求出:2轴在操作A中显然未动,经过操作B将 转虚线开示2的位置,2和2的夹角是2,表明C的转 角是26.因为O也必须是点群操作之一,2只能等王63,90 120180°.从我得到结论,任何点群中两个二重之夹 角只是30,45°,639°,90.以上的论证显然同样适用于四重轴 和四或旋转反渲轴,也就是说一个点群所包含的对称素2、4和4相 互灭角幕必須符合上列要求 具体分析证明,由于对称素组合时受到的严格限制,由十 种对称素只能维成32个不相同的点群.这就是说,晶体的宏魂对 称只有32个不同类型,分别由32个点群来搦括 现在简单介绍一下32个点群 最简单点群只含一个元素(不动操作),可以川C1标记,它 表小任诃对称的品体; 只包含一个旋转轴的点群称为回转群,标记为C2,C3,C4,Cn, 共有凹个,C表示有一个重转轴 包含一个%重旋转和个与之垂直的二重轴的点群称为 双面群,标记为Dn,这样的点群有D2、D3、D4、D6,共四个, 由上述点群增加反演中心或一些镜面,可以组成新的点群 C1群加上中心反演组成C群;C1群加上反映面组成C,群, C群加上与重轴垂直的反映而组成C姓群,共有四个;C 群加上m个含n重轴的反映面组成Cn群,也有四个 Dn群加上与重轴垂直的反映面组成Dn群,共有四个, Dn群加上通过重轴及两根二重轴角平分线的反映面组成Dx4 群,但仔细分析表明在这里只能取2与3,即有D2d、D3群两 个 还可以有只包含旋转反演轴的点群,标记为Sn群.但其中 32
S1=C4,S2=C,S3=C3,只有S4,S6归入群,共有…个 以上我们已经介绍了二十七个点群,这二十七个点群中最多 只包含一个高阶对称轴(n≥3).下而余是阶多F1个 的点辟 用水知识 权! 相 在上一节我们曾经介绍过两种点群,立方对称的48个对称操 作称为立方点群,用O标记;正四面体的24个对称操作,称为正 四面体点群,用Ta标记.另外三个点群是:O群中前24个纯转 动操作组成O群;群中的12个纯转动操作组成T群;T群加上 中心反演组成T群 我们并没有证明为什么只能有32种点群,只是介绍了32种 点群的对称操作和标记 §1-7晶格的对称性 前而我绾先后讨谂了贔体銘周斯(或称平移对称性)和宏观 对称,它们是鼎体对称揣述的酉个侧面,这一节着讨论鼎格的 对称性,扼要介绍…些有关的念和基木知 前而…节指出,由于任何格都具有由一定布拉伐格.子所 征的基本周期性,从而可以导出宏观对称所可能具有的类型 32个点群 现在我们反过来提出问题;品体始果具有一定的去观对称, 它必须具冇怎样的布拉伐格子?也就是说,一个布拉伐格子 {l1a1+l2a2+l3a3} 如果要具有一定的点群对称,a1、a2、a必须满足怎样的要求?具 佧分析证明,根据32个点群对布拉伐格子的要求,布拉伐格子总 共可以分为7类,称为7个晶系。例如:C1、O4对a1,a2、完全没 有任何要求,这种a1、a2、aB的长度和方向完全没有规的布拉伐 格子肖成一个晶系,称为三斜晶系,另外一个极端是对称性最高 的几个点群:T、、T、O和O,它们对布拉伐格子的要求是相同
的,能满足这样要求的布拉伐格子有简单立方休心童方和面心立 方三种称为立方品系.我们在下而的表11中具体列出属于各 晶系的各种布拉伐格子,以及它们所满足的点群对称 前面曾经…般地指出,体学中根据对称性对各种布拉伐格 子确定了标准的晶体学单胞和它的基矢,我们看到,布拉伐格子 按宏观对称分属于7个晶系,因此,晶体学单胞是按晶系确定的, 它们已具体表示在表1-1和图1-34中.单斜、正交、四方、立方 晶系都由于可以在单胞中增加体心、而心或底心格点,包含者不止 种布拉伐格子,使7个晶系共有14种布拉伐格子,显然凡有体 1)简单三斜 2〕简单单斜 3)底心单斜 az 4)简单正交 s)乐心让交 6)体心正交 7〕面心正交 8)三角 9)间单四方 0体心四方 11)六角 i2苘立方 」3体心立方 4)囿心立方 图1-3414种布控伐格子 ·34
心、面心或底心的情形,单胞与原胞是不同的, 表面荷起来,似乎还可以靠增加体心面心底心得到一些新 的格子实际上仔细考查一下就会现,这样做的结果或者仍属于 14种袼子之一,或者得到的并不是个布拉代格子(也就是不能 用l1a1:l2a2+lsa3表征) 任何一种晶体,对应的晶格都是十四种布拉伐格子中的…种, 指出晶体所属的布拉伐格子不但能表征晶格的周期性而且能从它 所属的晶系了解到晶体去观对称所具有的基本特征。因此,布拉 伐格子概括了晶格的对称性 表1-1 晶 系 单胞甚关的特性 布拉伐格子 所属点群 三斜晶系 a;≠a:≠as 夹角不等 简单三斜 C1,O4 单斜品系 简单的 aza,,aa 底心单斜 Ca, C,, CIA 符单交 底心正交 正交品系 口1,国盒:3 体心正交 D2,C2,D1 互相垂直 面心正交 三角晶系 a=f=y<120°, 三角 C3, C3,, D3, Cav. D3s 90 四方品系 郾=郾x0 简单四方 C4,C4,D4,C4 体心四方 D. C. Jp A 六角系 六角 夹角120 D 1一2一召3 简单立方 亡方晶系 体心京方 B=Y 面心立方
下面我们简单介绍“空间群”的概念.晶格的周期性,也称平 移对称性,可以用布拉伐格子来表征,平移一个布拉伐格子的 格矢量 1a1+l2a2+l3 用不坐用识产 品体自身重令弥为平移对称操作,所有布拉伐格子品格矢量所 对应的平移对称操作的集合,称为平移群.鼎格的对称性还可以 用一系列转动(或转动加反演)对称操作描述,这些对称操作的集 合组成点群:(通常用R表示点群对称操作).而晶格全部对称操 作,(即有平移也有转动)的集合,构成空间群 空间群分为两类:一类称为简单空间群或称点空间群;一类 称为复杂空间群或称非点空间群 所谓点空间群,是由一个平移群和一个点群对称操作组合而 成的,它的一般对称操作可以写成 (R,f;23) 表示环绕格点进行R操作以后再平移tun.联合操作.简单晶 格所具有的空间群属于点空间群.以面心立方晶格为例,它的点 群对称为Oa点群,则它的空间群操作 (R|t:1) 中R可以是O群中所有操作,1412表示面心立方平移群中的操 作,这种空间群记为Fm3m,其中F表示面心立方;m3m是O4 点群的另一种等价的标记的方法。一些复式晶格的空间群也是点 空间群,以闪锌矿ZnS品格为例,它的布拉伐格子是面心立方,属 于立方晶系,所容许的最高点群对称是O4.但是,具体考查环绕 一个格点的转动,例如,环绕Z转动,固然对所有O。群操作,Zn 格子都将复原但在四面体顶点的只有在T4点群操作下才保 持不变.囚此,它的点群对称是T。品格对称操作也可以写成 (R!t1,) 共中R为环绕辂点的Td群操作,tn表示面心立方的平移对称