Gm1m,=n1的1+2b21:6 其中n1、t2、%3为一组整数.称Gn,3为倒格子矢量,简称倒格矢 由倒格子基矢的定义(3-5)式很容易验证它们具有下列基本性质 2兀,t a4b;=2#δ, (,f1,2 (1-6) ≠J 也有人把(1-6)式当作倒格子基矢的定义,值得指出的是倒格子 基矢的量纲是[长度],与波数矢量有相的量纲 若把晶格中任意一点x用基矢表示,写成 1a1+52a2÷5 则一个具有晶格周期性的函数 (x)=V(x+l1g1+l2a2+l3a3) 可以看成是以与为宗量,周期为1的周期函数;因此可以 写权博里级数 V(41,,5)=∑ 1b再急认(h+hx5+面s) 1-9) h1h和 1、h2、k为整数.其中系数 d1}c2」a3e-2(1+:+v(t,与2,5) 根据(1-5)式分量5、2、可以简便地用倒格子基矢写出 1·二t b2·x b 代入〔1-9)式,傅里叶级数可以直接用x表示出来,即 x)=∑VA1 (1-12) 系数也可以相应地写成
a1·a2×a3f nxe-(1句+b命):(x) (1-13) 积分为在一个原胞内的体积分.傅里叶级数中指数上的各矢量 h1b;十b2b2h3b3,(h1,h2,h3=整数) 重机为 (114) 就是倒格矢。在晶体的微观理论中,(1-12)式是很重要的,这一点 我们将在以后几章中逐渐加以阐明 在这里筒单讨论一下倒格关与品面之间的关系,很容易证明 倒格矢G12A3=h1b1+h2b2÷hb垂直于密勒指数为(h12bs)的 晶面系,(这一点留给读者自己去证明),即Gn1A2b2为(形1b2b3)晶面 的法线方向.由此可以接写出晶面的方程 (k1btih2b2+h3b)·x=n (1-15) 其中=-∞,…,-1,0,+1,……,+∞,n取不同整数代表晶而 系中不同的晶面,而且各面与原惠的垂直距离为 Tb1-,2+h2 (1-16) 从而知道|xl=1,2,3,…顺序地表示,从通过原点的面算起的第 ,第二,第三,…品面.由此得到晶面之间的问距是 1hb1÷h2b2+h3ba (1-17) (1-17)表明,指数小的晶面系,品面有较大的间距,这样的晶 面也是原子比较签集的品面,因为单位体积中原子数目是一定的 常见的晶面正是这样的晶面 §1-5晶体的宏观对称性 些晶体在几何外形上表现出明显的对称,如立方、六角等对 称,这种对称性不仅表现在几何外形上,而且反映在晶体的去观物 理性质中,对于研究品体的性质有极重要的意义 以介电常数为例,它一般地应表示为一个二阶张量gap(a, 18
B:-x,y, 2) (1-18) DE分别为电位移量和电场强壤:后面将证明,在具有立方对 称的晶你中,它必然是个对角张隆 eog=oba,(立方对称) (1-19) 因而 E (1-20) 也就是说,介电常数可以看成一个简单的标量,在具有六角对称 的晶体中,如果坐标轴选取在六角轴的方向和与它垂直的平面内, e以矩阵形式写出,将有下列形式即 0e:0,(六角对称) (1-21) 00ε 表明对于平行轴的分量B,有 E (1·22) 对垂直于轴的分量,有 E 我们知道,正是由于介电性在平行和垂直六角轴方向的差别,六角 对称的晶体有双折射现象。而立方晶体,从光学性质来讲,是各向 同性的 从第一节列举的晶格可以看到,晶体具有各种宏观对称性,原 因就在于原子的规则排列、例如,在一个平面内密排的原子球自 然地形成一个具有明显六角对称的晶格.如果把密排层堆积成三 维密排结构则可以形成两种不同的对称;立方对称(面心立方晶 格)和六角对称(六角密排品格) 周期排列(布拉伐格子)是所有晶体的共同性质,而正是在原 子局期排列的基础之上产生了不同晶体所特有的各式各样的宏观
对称性 对称性特别是几何形状的对称性,是很直观的性质.例如图 1-25中的(a)圆形、(b)正方形、(e)等腰梯形和(d)不规则四边形, a)圆 〔b)正方形 (c)等腰梯形(d不规则四边形 图125对称形不同的几种图形 就有明显的不同程度的对称.但是怎样用一种系统的方法才能科 学地、具俸地来概括和区别所有这些不同情况的对称性呢?我们 可以结合图1-25的具体例子来答复这个问题 首先它们不同程度的对称性可以从图形的旋转中来分析 显然,圆形对任何绕中心的旋转都是不变的,正方形则只有在旋转 的情况下才会与自身重合,结果没有改变,而等腰梯形 和不规则的4边形则在除2x以外的任何旋转下都不能保持不 变 上面的分析表明,考查图形在旋转中的变化可以具体地显示 出(a),(b)、(e)之间不同程度的对称但是,还不足以区别(c)和 (a)之间的差别.为了进一步能显示出这样的区别,可以考查图形 按一条直线作左右反射后友生怎样的变化,显然,园形对任意的 直径作反射都不改变,正方形则只有对于对边中心的联线以及对 角线作反射才保持不变,等腰梯形只有对两底中心联线反射不变, 不规则四边形则不存在任何左右对称的线 以上分析所用的方法,概括起来说,就是考查在一定几何变换 之下物体的不变性.我们注意上面所考虑的几何变换(旋转和反 20
射)都是正交变换(保持两点距离不变的变换).既括宏观对称性 的系统方法正是考查物体在正交变换下的不变性。在三维情况 下,正交变换可以写成 制品产权 a21 23 431 C32 a33 2 其中矩阵{a;1}是正交矩阵(i、j=1、2、3),例如,绕z轴转θ角的 正交矩阵是 cose sing sing coso 0 中心反演(即由x x)“正交矩阵是 100 00-1 当变搀是一个空间的转动,矩阵的行列式等千+1:当变换是空间 转动加上中心反演时,阵的行列式等于-1如果,一个物体在 某一正交变换下不变,我们就称这个变换为物体的一个对称操 作,显然、一个物体的对称操作愈多,就表明它的对称性愈高.上 1对图1-25所做的分析,实际上就是指出了各图形所具有的对称 操作.下而考查儿个三维实例: (1)京方体(或者称为立方对称)很容易验证,存在下列对 称操作 绕图1-26(a)所示立方轴转动x/2、x、3x/2,有三个立方轴, 共9个对称抛作 绕图1-26()所示面对角线转动x,有六条不同的面对角线, 共6个对称操作 绕图1-26(c)所示立方体对角线转2丌/3、4x/3,有4条不同