(i∈E)是非负线性方程组 b(i∈E) 339) 贮乇E 的最小非负解,则 a (i∈E) 是非负线性方程组 +(a)(∈E)(331) 丙E 的最小非负解,其巾a≥0(s∈G) 定理333,设a>0(∈E),则a4x(i∈E)是非负线性 方程组 十a;b;(i∈E (3311) 的最小非负解 系333.设a≥0,则ax(:∈E)是非负线性方程组 xk+ab;(i∈E) 2) k∈E 的最小非负解。 §3.4.局部化定理 定理341.设G为E的非空子集.非负线性方程组 c;xk十 +b)(i∈G)(341) G 的最小非负解x=x(∈C) 系34.1.若 c;=0,i∈G,k∈EG (342) 则非负线性方程组 x+b(i∈G) ←G 师
的最小非负解式一x(i∈G),非负线性方程组 x-∑c++(>+b)(∈EG)(34 的最小非负解立=x(∈EG) §35.最小非负解的牵速性质 定义351.设A=(a1,i,j∈E)为一非负矩阵,如果存在 E的有限子集{i,i,…,办使 ai2“i (35.1) 则称在A中j可自i到达,井记作i,否则说在中j不可 自i到达,并记作i;如果i八〃及jη同时成立,则称 在4中与i互通,并记作i若1,1为E的子集,且存在 i∈l,jJ使iη,则称在中J可自到达,并记作1八J 否则称在A中J不可闩I到达,并记作八.若{~〃, 凡i∈I,则称在A中J可自I强到达,并记作I八 注351.显见,若i及jη则iη 注352.若j,则由(351)知,i与否同a (k∈E)无关 注353.今后把{⌒η记作i~等;设G为E的子 集,令A1=(,;,∈E\G),今后常把记作;等 定理351.以C=(c块ik∈E)表示方程组(321)的右 边系数矩阵,设 (i)若x=0,则x=0; (i)若x<+∞,则x≤+∞ 证。假设 (35.2) 28
由”知,存在E的有限子集{,n,…办使 (353) 由(35.2)和(3.5.3)及 k+cixi.+ b (354) 立得x=0.同理.由x=0可得 最后,H 得 0.于是(i)获证;同理可让(i)的真实性.至此,定理证 毕 系351.若i则x与x同时为零或同时大于零,高 时有限或同时无穷 注354.显见把定理3.5.1中的最小非负解x(i∈E)易为 任一非负解,定理的结论仍成立 定义352,E的元素称为矩阵A=(a;i,j∈E)的足码, E称为它的足码集 定义353.称i∈E为矩阵!=(a;,i,f∈E)的本质码 对于任一k∈E当i时,就有~,否则称i是A的非本 质足码 §36.极限过渡定理 定理361:设E=(,2,…)及 c:≥0(i,,N∈E), Gik∈E)(361) b≥0(N∈E),V-mbN)=b(i∈E)(3.6.2) 0=bN)(i,N∈E) ∑cy”)(n≥1,,N∈E (36.3) 1=b;(i∈E) D=∑cy(n≥1,i∈E) (364
以及x*(i∈E)是非负线性方程组 ∑(x+b(∈F) 365) 的最小非负解,则 V-myn)=y{n)(n≥1,i∈E) (3.6.6) 〔n)* (3.6.7 系361.E,c,b的定义如定理36.1.若以x”*(i=1 2,……,N)表示非负线性方程组 ck+b(=1,2 N)(368) 的最小非负解。则 V-imx")*=x(i∈E) (369) 系362.设E=(1,2,…).若x)*(=1,2,…N) 是非负线性方程组 处xk+b;(i∈E) 〔3610) 的最小非负解,则 V-imx!")*=x!(i∈F (361) 注361.系36.1和系362把可列维非负线性方程组的最小 非负解的计箅问题归结为有限维非负线性方程组的最小非负解的 计算问题.关于后一问题将构成第四、五章的主要内容 §37.矩阵表示法 定理371.令C=(n;i∈E),而B=(b,i∈E)和 X*=(x,i∈E)为列矢量,则 (37,1)
即 )=占+>(2)1,(∈E)(37 取安E#=0 其中c(j∈E)由C=(c,ii∈E)准一决定, §38.对偶定理 设C,D,B为定义在F×E上的非负矩阵,且C,D的元素 均有限。O表示定义在E×E上的岺矩阵.令 X(0)=O (38.1) CXm)+B(n≥0) xo)= 0 X(”=("D+B(n≥0) (38.2) 显见,极限X*=V-lnXn)及X*=V-limX存在, 注381.本节中的B,X(n),),X*,*均表示矩阵,这与 §37中的记号不同 定理381.若 CBE BD (38.3) X 证,易证 CnB (385) *=∑ (386) 若(383)成立,则易知 C"B=BD”(n (387) 于是,由(3.8.5),(3.8.6)及(3.87)立得(3.84).定理证毕