第四章计算方法 §41.几个引理 引理411,设A=(a,)是n阶原矩阵,r是其最大特征 数,若 1.1) 则 (2) 其中a由小=(a))唯一决定, 证。由L9,第十三章的(84)式]知 lim -k C( C 中(x)k=,(r) 其中C(x)是矩阵A的导出附加矩阵,ψ(λ)是A的最小多项式 (λ)的导数,由[9,第十三章(53)式]知 CO (414) 由(x)的首项系数为1,r是其单重零点且是其最大实零点立得 中(r)>0 故 lim (41.6) 由(411)和(41.6)立得(41.2).于是引理获证 引理412.设A=(a;)是n阶不可约非负矩阵,7是其最 大特征数,若 (417) (418)
证,设h是A的非原性指标,山[9,第卜三章,§5的推论2], 不失一版性可设A呈次之形式: (41.9) A 其中A·=1,2,……·,h)是原矩阵,且以r为最大特征数,于是 由A的不可约性及引理4.1.易证(4.1.8)成立.故引理得证 引理41.3.设A=(an)是η阶非负矩阵,r是其最大特征 数,若 (41.10) 则级数 (41.11) 收敛,反之亦然 证.由r是A的所有特征数中模为最大的一个及「10,定理 3.7立得此引理 引理41.4,.设d=(a;)是n阶非负矩阵,r是其最大特征 数,若 (41.12) 或等价地 (4.113) 收敛,则(d一I)存在,且 (A-1)=∑ (41.14) R=D 其中Ⅰ为n阶单位矩阵 证,由[10,定理37」立得此引理, 引理415.设A=(a;)是n阶非负矩阵,r是其最大特征 数,则 (41.15) 33
的充要条件是 【L 1 k (=1,2,…n)(41.16) 证,由[9,第十三章定理4立得本引理 §42.问题的归结 设 ∑c1x+b(i∈E) (421) 是非负线性方程组.令 ci,∈E b;i∈E,b=0 t 4.22) i=0,∈E =0 构造矩阵 T=(i∈{0}UE) (423) 令 E1=(i:i∈E (4.2.4) E2=E\E;=(:iEi10) 425) 定义421.若E1=,则称(42,1)为严格非齐次非负线 性方程组,或简称为严格非齐次方程 注42l.若E2=8,则(421)显然为齐次非负线性方程 组,这种方程简称为齐次方程 定理421.非负线性方程组(4.21)的最小非负解建(i∈E 如下唯一决定 (i){x,i∈E}是齐次方程 Cis (i∈E1) 34
的最小半负解,从 *=0(∈E1) (127) (i){x*,i∈E是严格非齐次方程 x,=∑c,4xk+b,(i∈E2) (42.8) rEE2 的最小非负解,且 (i∈F2) (429) 证,参考定理3.5,1的证明易完成本定理的证明, 系421.非负线性方程组(421)的最小非负解 x≡0(i∈E) (4.210) 的充要条件是它是齐次的.而 的充要条件是它是严格非齐次的 砖∈E b;=+∞,;∈E,k=0或i==0(42.12) 0,b;<十∞,i∈E,=0或 构造矩阵 R=(ri,攵∈{0}UE) (42.I3) 令 G:=(i:i∈E,i10) 4214) G2=EG1=(i:i∈E,i0) 定叉4.22若 2 (4.2.15 则称(421)为常义非负线性方程组,或简称常义方程.若 刘称(42.1)为常数项本质无穷非负线性方程组,或简称为治数项 本质无穷方程
定理422.非负线性方程组(12.1)的最小非负解x*(E) 如下唯一决定 (i){x",i∈C}是常义方程 ∑c*xk+b,(∈E) 的最小非负解; (i){x*,i∈G2}是常数项本质无穷方程 x=∑c4+(∑c:+b)(∈G)(218) kEGr 的最小非负解,且 x=+∞(i∈G2) (42.19) 证,参考定理35的证明易完成本定理的证明 系422.若(4,2.1)是常数项本质无穷方程,则 (i∈E) (4220) §43,n维常义严格非齐次方程 系3.61.知系3.6.2将可列维非负线件方程组的最小非负解 的计算问题化成有限维非负线性方程组最小非负解的计算问题, 而定理4.21和定理4.2.2把n维非负线性方程组的最小非负解 的计算问题归结为n维常义严格非齐次方程的最小非负解的计算 问题.下面我们就来纶出后一种方程的最小非负解的计算方法 因下面的定理易由引理41.1一引理4.15推证,故将其证明从 略 设 b;(i=1,2 (43.1 = 是n维常义严格非产次方程.根据[9第十三章54]知,C=(c() 经行与列的同样置换后,可化为次之形式: