m (t,如)(a∈g)(2.6.5) 则X(a)={x(t,),t≤o(o)是一个Q过程,其中 limin(o)=limo(n)(c) 26.6) (i) gn(X(U))=()(a) (26.7) 527.小 结 利用56中的结果和引入的术语,可把定理15.1加以深化并 给出它的逆定理 定理27L.设X(o)={x(t,),t<σ(o)是一个Q过 程,若令 g(X())=X"(a) (271) 则 (1)X(n(ω)={xm)(t,),t<a)(u)}(n≥1)是过程 强基本叙列; (i)对于任一t∈[0,d())有 limr(n( (t,)(m∈9) 272) 定理272.设x(o)={xn(t,),1<σ(o)}(n≥ 是Q过程强基本叙列,则 ()对于任一t∈[0,(o)),极限 limrn(i, o)=x(, o)(0E 2) (273) 存在,且X()={x(t,),t<叭()}是一个Q过程,其中 (o)= limo(o)(∈2 (274) (ii) gn(X(u))=X()(o) (275)
第二篇非负线性方程组的最小非负解理论 第三章一般理论 §31.引言 本章的目的是给出非负线性方程组的最小菲负解的一般理 论 本章的§2,§3和§6的结果或思想基本上来源于[8]的第一 章的§2,因此,本章的结论的证明大都略去 §3.2.非负线性方程組的定义及其最小非负解 的定义、存在和唯一性 定义3.21.线性方程组 x=∑c,x+b,(∈E) (32.1) 称为非负线性方程组,如果 0≤c<十(i,k∈E),0≤b≤十(∈E)) E为有限集(1,2,……·n)或可列集(1,2,……) 下面总假定(321)是非负线性方程组, 定义3.22(3,2,1)的非负解0≤x≤+(i∈E)称为其 最小非负解,如果对于(321)的任一非负解0≤x1≤+(i∈E) 恒有 x≤x(∈E) (322) 请读者注意,今后我们常把a↑a(n↑十c)记为 V-lima. = a 定理321.(3.2.1)的最小非负解存在唯一;若令 1)本篇总认为非负数集包括+∞ 23
0(i∈E) m+1) 十b;(n≥0,i∈E) (32.3) 则极限 V-li 2.4 存在,且x(i∈F)就是(3.2.1)的最小非负解 本篇总以x(i∈E)表示(321)的最小非负解).(3,2,2)称 为x(i∈E)的最小性, 系321.若(321)是齐次的,即b≡0,Gi∈E),则 x≡0(i∈E) (325) 定理322.设 0(n≥1,i∈E) V-mb”)=b;(∈E) (327) 若令 x)=b(i∈E) (328) C:bx 十b}+D(n≥1,iE) v-lim x (i∈E) (329) 系3.22.设 E) (3210 (i∈E (3211) 若令 Gi∈E 十 n≥1,i∈E) (3212) 则 2 (i∈E) 32.13) 1)往后把这种求解方法叫蠍逐次逼近法
系323.若令 y:"=b,(i∈E) (32.14) 则 (i∈E) (3215) 定理323.(3.21)的满足不等式0≤x;≤px(∈E, 卢≥1为常数)的唯一非负解是x(i∈E);从任何满足条件 0≤x≤px*(∈F)的初始值z(∈E)出发,用逐次逼近 法必然得到这个解 定理324.若x<+∞(i∈l),则(3.2.1)的满足不等 式|x;≤px(i∈E,p≥1是常数)的唯一解是x(i∈E);从 任何满足条件|x≤px(i∈E)的初始值x(i∈E)出发,用 逐次逼近法必然得到这个解 系324.若x(i∈E)有性质 0< inf x≤supx<+∞(i∈E)(3.2.16) ∈E 则对应于(321)的齐次方程 32.17) 火∈E 无非零的有界解 证,事实上,若齐次方程有非零的有界解 x;(i∈E),|x;“K<+∞(i∈E) 令infx=,于是 让<1 ≤(i∈E (3.2.18) 即 对,≤x(i∈E) (32.19) 但易见x+x;是(321)的解,而 +x,≤十」对≤(1 (i∈F)(3.2.20) 2于
故由定理324知 x+x=x(∈E) (32.21) 从而 x;≡0(i∈E) (3222) 得出矛盾,所以,(3.217)无非零的有界解 533比较定理和线性组合定理 定义331.方程组 X≥∑C;X+B,(i∈E) (3.3.1 称为(321)的一个优方程,如果下列不等式成立: c≤C(,k∈E) (332) h≤B;(i∈E) 定理331.设X(∈E)是(32.1)的优方程(331)的任 一非负解,则 x≤K;(i∈E) (334) 系33.1.x(i∈E)具有性质 x<s≤+0(i∈G) (3.3.5) 的充要条件是(21)的某个优方程具有如下的性质的非负解X i∈E) X;<s;Gi∈G) (336) 其中GCE,s;(iG)是正数 系332.设a≥0(?∈10UE)及r≥0,则 a+∑ax<5 (337) 的充要条件是(321)的某个优方程组具有如下性质的非负解X (代∈E): X;< (338) E 定理3.32.设G是一个有限集或叮列集,s∈G.若x*