引理233. (B)=0 (2.3.36) 首先作些准备工作, 命题231.设0≤1≤σ,4<+∞,则 limu(Bm)=u(B,) (2.3.37) 命题232.设0≤s≤丌 ≤5↑:(↑+∞) (23.38) 则 lim(Bim))=u(Bim)) (23.39) hm(B,)=(B,) (2340) 命题233,若 (2341) 则 u(B(n)) 2342) 证,由(2.323)和(23.41)知 Bm, aJ+u( B )(2.343) 但 (2344) 收由引理231和(23.18)知 wex x (2345) 把(2345)代入(2.343)得 x”)+(B)=P (2346) 由(2.219),(2.341)以及命题(2.3.1)得 x)+;(Bm) (2347) 于是立得(2342).命题获证 引理2.3.3.的证明 並然至多可能出现下列二种情况: (i)存在n>0,使 (23.48)
且存在s>0,使 U (2349) (i)存在n>0,使 (2350) 但 (23.51) i)对一切 0有 Tim (2352) 下面在情况(i),(ⅱ)以及(ⅲ)之下分别证明引理的真实性 (1)设情况(i)发生 这时显见有 (B)=(Bn) (2353) 但这时 <σ≤+∞ 2354) 于是由命题233立得(23.36); (2)设情况(i)发生 由命题23.2和2.3.3立得(2.3.36); (3)情况(ⅲi)不可能发生 实因,对任 0有 x)≥Pm.n≥o%n≥r(m≥n)(2,3.5) 故 imB)≥l (2356) 从而 limP≥imom)=a (2357) R→ 但这与(2352)矛盾,所以情况〔i)不可能发生 至此,引理获证. 引理234.对于t∈[0,a()有 ↓t(n↑+∞) (2358) 8
证.t∈L0,”)知 wt<+ao (23.59) 显见 ≤Wt↓(n↑+∞) (2360) 于是 t≤ li W<+ (23.61) 任意固定一个自然数n并令 Wnt=E∈|0、 2.3.62 于是 (B{))≤纵B)<<+∞ (2363) 由引理23.3.得 inM(Bin)≤hmu(BP”)=(B2)≤(B)=0(2.3.64) 由(2.3.23)和(2.3.64)立得(2.358).于是引理得证 §24.作辅助函数 令 )(Wnt),如t∈A +∞,如t∈B 由(22.26)和引理23.1.知 x(nt(Wn+1)=x1(Tm+,nWn+)=x"(Wnt)t∈)(242) 于是x(t)在{0,σ)上唯一决定 引理241.x()在[0,a)上右连续,且 (243) 证.由引理23.3立得(24.3).由xn)(t)之右连续性易证 x(t)在集A的每一点上是右连续的.往证x(在集B的每一点上 也右连续 设t∈B,注意引理2.3.3,易证,存在一串区间[ox,B) (n=1,2,…),使 t∈lk,P)∈Bm)(n=1,2,……) (244) [cm,P)【x料+;Bn+)(n=1,2,…)(24.5)
以及 imok= lim pt 显然,在区间[Gx,P)中x(4)之值大于n,所以 (247) 因此,x()在B的每一点上右连续.引理获证 引理242.对于任一长∈[0,)及任一∈E,在「0,中仅 有x()的有限个区间 证.由在[0,中x()的区间的个数不多于x)()的讠 区间的个数和在[0,)中x(·)仅有有限个区间立得我们的 引理 引理24.3. limr(a(a=x(o tE[o, g) (24.8) 证,设n充分大,由(23.5)知,可使t∈[0,().于是有 (249) 由(249)、引理2.34和引理(24.1)立得(24.8).证毕 525.第二构造定理 定理251(第二构造定理).设 X(n)(0)={x(n)(t,),t<σn)()}(n≥1) 是一列一阶Q过程,且满足 8. (X(ntD(u))= Xin)(u) 251) 则对于任一t∈[0,σ),极限 limr(a)(t, o)=x( (252) 存在,且X()={x(t,ω),t<o(o)}是一个Q过程,其中 ()= ling()(o∈) (253) 证,由§24知,只需证明下列二点: ()X()是一个齐次马尔可夫过程; (i)对于任一t∈[0,+)有 P(;x(t2b)=+∞)=0 (254 20
关于此可仿[2,定理6,2和定理631的证明推出.于是定理获 证 526.定理251的深化 定义26.1.满足(251)的Q过程叙列X"()(n≥1)叫 做Q过程基本叙列 定义262.设X(n)()={x列(t,c),t<rn(o)}(n≥1) 是Ω过程基木叙列.若 o(c) (o)(o∈) (261) 则称Xn)()(n≥1)为Q过程强基本叙列.其中an)(o)为 (233)式所定义 设Ⅹn)(a)={xn)(t,),t<on)()是Q过程基本叙列,令 (m(,O) ),0≤t≤(),∈g(2.6,2) A(m)={(n(t,a),!≤n()} (26.3) 引理261,假设和记号如同定理25.1.,则 8,(X(o))=X()(w) (264) 且(n)(a)(n≥1)是Q过程强基本叙列 证,(264)显然成立.于是由定理151知籴m()(n≥1) 忌Q过程基本叙列.又由(2.6.4)知它还是强基本叙列.引理获 证 定义263.设X(n)(o)(n≥1)是Q过程基本叙列,则由 (2.63)定义的Q过程强基本叙列叫做X(o)(n≥1)的极小收 缩 由定理251.和引理261,立得 定理261.设X(m)(o)={x(n(t,),t<am)(o)(n≥1) 是些过程基本叙列,8(n()={A0)(t,o),t<a(6)}(n≥1) 是它的极小收缩,则 (i)Rn)()(n≥1)是Q过程强基太叙列,对于任-t∈[0, o(),极限imx(n(t,)和inn(t,m)(∈9)存在而且相 等,对于任一t∈[0,σ(ω))若令