第二章第二构造定理 §21.引言 设(Q,,P)为亢备概率空间, ()} 是其上的一列一阶Q过程,且 gn(Xn+)())=X(n)(o) 从而有 8, (X(m)(00))=X(n)(o)(m>n) (212) 关于9过程、一阶9过程以及变换gn的定义均见第一章,并且注 意,同第一章一样,在本章中所涉及的一切Q过程都应满足第一章 中的(11.1)和性质(D) 下由52—4是对任一固定的a∈2,研究x)(t,)(n≥1) 在n→+∞时之收敛问题.故在§2-54中所见到的有关各记 号曰我们均把m省去不致引起误解 本章的目的是要证明构造定理25.1.该定理主要用于“对于 任给的一个矩阵,构造出全部Q过程来” 22,映射T 对任一定的自然数n,我们按如下方式定义r(k=0 (22.1) r)为x(n)()的第一个飞跃点 222) 设r已定义,如xo)=an),则令=?),否则令 ri为x(m()的在t,后第一个飞跃点 (223) 由x()是一阶9过程知,上述r(k=0,1,……)唯一决 定,旦 12·
lim rim)= gn) 224) 对m≥n,令 β an)为xm(z)的第一个飞跃点 226) nf(:oim,≤t<am),xm()∈Dn) am),如果上集合空 (227) 这里Dn=(1,2,……,n).设σ如),比m?已定义,如x1)= 0m,则令oxmn)=的mn=m),否则令 d”为xm(t)的在pm:”后的第一个飞跃点 (228) f(t )()∈D,) am),如上集合空 (22.9) 显然有 ≤a()≤…≤dm≤ (22.10) 0={6,”≤ ≤m,≤ (221) on)≤d”)≤…≤+”)≤…(=1,2,……)(2,2,12) )≤ ≤tn≤…(一0,1,……)(2.2.13) (22.14) -1 (m≥n)(2.2.15) ∑1)-出”=∑r一x=n)(m≥n)(2,2,16) 由(2210),(2,212),以及(22.13)知,极限 lim o (22.17) lim g (228) 以及 imm,")=) (2219) 存在(有限或无穷).由(2.1)知 0=B)≤σ x”≤P≤…≤σ(22.20) 由(2215)知,若<+0,则 dR)-px1=0km)-m:”)=z()一rx”1(m≥n)(2221) 43
R (2222) 作由[0,σ到R(m,)上的映射Tm:若t∈[τ1,t),则令 (2223) 並地,若与<与且2,2∈[0,m),则 (2224) 故Tmn的逆映射Tmn存在唯一,由(21.2)知 x((o)=x(m)(Tmn) tE [0, o(n)) (2225) (Tmn)!∈R (2 显然,若k≥m≥n,則 TAm7mn=Tn!t∈「0,an) 22.27) ImnTkLt= T 枚n【∈R( 2.2.28) 特别 pm,”) (2229) s23.映射W 设t∈[0,a(),由丁 t=Tnnf≤T n士【 ≤≤T, (231) 故极限 lim Tub.=t (232) 存在(有限或无穷).令 分)=sup(;t∈I0,(m),mT,,≤+∞)(23,3) 易证,当且仅当;∈I0,(n)时有 imT,+k,n<十 (23.4) 及 lin go (235)
令 A)=(:存在t∈!0,6(),使 lim T 显见,存在 ≤+∞吏 6)=∪[rx,r() (23,7) 及 P1,o") 238) 以及当5<+∞时有 6<<……<m)≤ (239) ),若 ),若 (2310) +∞ 作由[0,列)到A)上的映射Wn imTn+6,ntt∈[0,am) 2311) 显见,若t<l,t1t∈[0G(),则 (23.12) 从而 (2313) 于是,W,的逆映射W存在唯一,且若 0≤a1<T 貢∈J(2.3.14 则 P 反之,若 Bie,+ 饣∈Jn(2.3.16) 则 Wri 十 特别 郾:)R∈Jn 15·
(23,20) (2.3.21) 于是有 A A(m), Bim)=B (23.22) f+t(B#))=W,,t∈「0,a) (2.3.23) t-t(B)=田nt,t∈A) (23,2 其中表示 Lebesgue测度 容易证明下列两条引理: 引理23,1.若 h1∈[0,n),t2∈n (2325) (2326) Wn=TR1 Wm: 2 (23.27) 引理232.对任一s∈[0,a)有 Am三An+)( 从而有 B)2B4+)(n=1,2,… (2329) 令 ∪ Am)0≤t≤ (2330) Be B!m)b≤ (23.31) (23,33) 于是有 A,∩B:=Q,A,UB:={0,1 (2334) A广B AUB=[0,g) (23.35 I 6