的不依赖于将来的随机变量,如果 0≤8()≤a(o)(o∈) (14.2) (2)对一切t≥0有 (8≤!<a)∈N (143) 显然,条件(2)可用下列的条件代替: (2)对一切t≥0有 (8>t)∈N (1.4.4) 引理14】.若6(a)是关于过程 X(0)={x(t2c),t<σ(o) 的不依赖于将来的随机变量,则 (δ>t,σ>t)∈N4(a≤t (145) t)∈N,(a≤t) (14.6) r)∈N:( (1..7) (6≤u,σ>t∈N,(u≤t) (14.8) (6≤t,a>t)∈M:(n≤!) (14.9) 证,由(1.4.1)和(144)得(145),从而得(1.4.8).由(14.1) 和(145)知 (δ≥u,d>t) 8> >)∈N,(141 于是得(146),从而得(14.9).由(14.5)和(146)得(14.7). 引理得证 引理142.设1,62是关于过程 X(o)=[r(u, co), i<o(a 的不依赖于将来的随机变量,且61≤82则 (62-61<r,B2 >t)∈N (1.4.11) 及 ∈N 1412) 证.()(1.4.11)式的证明
若r≤0,则 ≤t,d>4)=N∈N2(1.4.13) 若r>0,R表示有理数集则由引理141知 (62-81 =(82<1+,B2<t,σ>t)U(61<b1+r,62=t,d>1) U【(6<r2,0>)n(61>r1,0>) r,r:∈R U[(1>t-r;a>t)∩(B2=t,a>t)!∈N:(1414) 由(143)和(1414)立得(1.4.11); (i)(1.4.12)式的证明 若r≤0,则 62-61>r,B2≤tσ>t=(62≤ (1415) 若r≥0,则由引理14.I知 2一61>r,82≤ ∪【(a2→>n,a>1)∩( t)∩(61<r1,d r1,r:∈R ∪[(61<4-r,σ>t)∩(B2=t,o>t)!∈N:(1416) 由(1415)和(14.16)立得(141.12) 引垩证毕 引理14.3.对于任一s∈I0,+∞),a(0)是关于9过程 X(a)={x(t,o),t<σ()}的不依赖于将来的随机变量 证.在本引理的证明过程中把on()简记为a(m).并注意 B"(u),)(uo),P(m)(k=1,2,…)都是关于过程X(u) 的不依赖于将来的随机变量 下面分两种情况进行论证: t<5 若∈(>t)及5≥a(n)(o),则c(a) )>t;若 (σ>t)及s≤σ((o),则a(∞)≥ 于是
(σ>t).但恒有(>t)s(σ>t),所以,当≤5时我们有 由于(a>1)≤(>t),所以(a>)=(m>1>t,子 是H引理1.3.1得 (Px≤t<m (1.418) 中当阳≤t<0时有a≤s≤t,所以 (1419) 由(L.322)及a>t当月仅当以(B{)>t-5知 (5t"1≤t<),a>t,0>t (mx1≤!<q?),n(B") (2(”-) ∩(ox)>t) ,)≤t,订>t) n(o)>) (々>1)(14.20 由(1.321)及c>t当且仅当k()<5,知 )≤f<战 (σ)≤t<,p(利m)<s =(2-m)<5四≤:>1∩(B”>1 (σ一則以<r1,”)≤ r
∩(Bkx)>t) (1.421) 由定义14.1,引理1,4.2以及(14.17)-(1421)知,(a>t)∈Nt 于是出0≤a(o)≤丌()(∈2)及定义【4t立得我们的引理 定理141.Xn)(o)={x(n(t,t),t<"(ω)}是一个 阶Q过程 证.显见,只需证明Xn)()是齐次马尔可夫过程,设 0≤右≤n≤…≤tk<ti1,i,…,块∈E(1422) 令 (a)<a()) (11.23) 显见 △ (o:t<a(n)()) (1424) (n) △ △ (1425) 由引理1.43知、a(i=1,2,…,是关于过程X(u)的不依 赖于将来的随机变量.令 x(t,如)=x(ac),(ω)+t,) (u∈△ (14.26) k 由强马氏性,c-,(m)是关于过程X()的不依赖于将来的随机 变量以及P(x(a)())=+0)=0知, X(o)={x(t,m),t<o()--a,(m)}(∈A) 是与X(a)有相同转移概率的9过程.令()(∈△x)是 对Ω过程ⅹ(ω)按(1.2.9)的方式定义的随机变量.显见有 a(0)一c(0)=可2-(四)(a∈△?)(1427) 于是 P(x("(t)=ik|x"(h)=i,x(n)(h2)=i2…xm)(t-) D=Px(olm) P(xain)=ix x(o[h- =ig-1) PGC 421)=i(0) P(rCa x(0) P(x(c+-,)=ix(D)=i) P(x(a( (1.4.28)
所以Xm(o)是齐次马尔可夫过程.定理证毕 注14.1.如引用[7中的记号和结果,则定理14.1的证明还 可再简单些。实际上,易知am()满足[7]中的条件(3)-(3.v) (在[7]中假定经受随机时间变换的过程是不断的,其实这不是本 质的),于是[7,定理2.1]立知X(#u)是齐次马尔可夫过程, 从而定理1.4.1成立 §15.第一构造定理 总结上面诸节的结果得 定理151(第一构造定理).设X(o)={x(t,),t<a() 是任一9过程,令 Xm)(o)=gn(X(w) (1.5.1) 则(i)x(m)(o)={x(n)(t2m),t<()()}是一个一阶Q过程; (i)在[0,叮(u))(∈)上处处有 lim xai(,如)=x(tc) (152)