显见,飞跃点的聚点仍是飞跃点因此x,ω)的一切飞跃点 构成一个闭集.所以,x(·,四)的第一个飞跃点存在,今以x表示 定义112如果Q过程K(o)={x(t,u),f<叫()满足 条件 r1(u)=a(m)(∈g) (312) 则称X()为最小Q过程或零阶Q过程 定义113.如果Q过程X(ω)={x(t,ω),<σ(ω)满足 如下两个条件,则称之为一阶Q过程: )= (1.3 (2)对任一60∈9及任一t∈[0,o(a),在[0,t)中x·,) 至多有有限个飞跃点 由定义1.12和定义113知,零阶Q过程是一阶9过程的退 化情况 王梓坤在[2]中严格地沦证了生灭过程的样木函数的构造定 理,并在[2],[3}中及杨超群在[4},[51中把构造定理成功地用 于生灭过程的一系列研究上.本章的目的则是给出Q过程的样本 函数的构造定理151.该定理的意义在于使得对过程的性质的 研究可按如下程序进行:先研究样本函数结构最简单的最小Q过 程继而研究样本函数结构较简单的一阶Q过程,最后,依据构造 定理用“极限过渡法”研究任意Q过程 s1.2.gn变换的定义 设X()={x(t,ω),t<a()是任一Q过程,Dn=(1,2, B()=0 aa)是x(·,m)的第一个飞跃点 (122) in(t:叫ω)≤1≤叭(ω),x(t)∈D) 6n(a) (123) a(m)2如L集合空 设m2(),Fm()已定义,如Fmu)=o(),则令a(∞)
m()=(o),否则令 dm)(u)为x(,c)在Pm()后的第一个飞跃点(124) PI(o) nf(:om()≤!<(),xt,)∈Dn) 0(如),如上集合空 1.2.5 于是,有 0=8)≤)≤P()≤ ≤mn()≤Bm()≤…≤(o)(1,2.6) 0,饣=0 "(a) (o(a)-P!;(ωa)),>0 (1.27) "(a)=∑(o")()-;"(ω))=imr(o)(1,2.8) B()+(z-z(∞), 如()≤t<x(m)( 如t≥a(m 对任一a∈9,t<n(m)令 我们把由X(ω)={x(tu),t<叭(u)}到X"(o)={xn(t,o) r<a(u)的变换记为 ga(X(to))=X*(co) §L3.叙列X0)(n≥1)的收敛性 引理131. p(a)=po)=叭()(o∈Q)(13.1) 证.由(1.2.6)知,极限inp(o)=p()(u∈)在 令 (a:n()<a(a)) 于是
n)(a)<+∞(o∈△) (13.3) 对每一∈△,由性质(D)和x(())∈Dn知,如B(c) <(),则 0 于是有 ?)(u)<a"(u)≤(o) ≤A1(o)<如)≤))<…<m(u) (o∈△) 1.3.4 从而 0≡n)(D)<"(m)<…<() <o(t)(o∈△) 由D,=(1,2,…,n)只包含有限个元素及x()())∈D知, 对任一∈△,必有某i∈Dn使 r(m"(o)=i,对无穷个k成立 (136) 于是易知 x(·,)在10,n(m))中有无穷个i区间(1.3.7) 从而,由(13.3)和性质(D4)知△=.引理证毕 引理132.对任一∈9和t<(ω),我们有 lim u(Bim())=0 (.38) #→ 其中 B{"()=∪l(o),o))10,2)(1.3.9) 令 A(a)=(1:x(t,a)+∞,t<()(1310) BCo)m(t: x(t, oo) A(u)=∪Lx(),o?(m) B(")(u)=∪[a()(),B"(o)) (13.13) 于是引理13]易知
A(o)UB(u)=4(n)(o)UB)(o)=[0,a(a))(1,3.14) (1.3.15) B(n)(o)=B(+() (1.3.16) U4(u) 1.3.17) B(o B() (1.318) 因此,如果令 a)∩L0,) (1319) B2(o)=B()∩[0,t) (1320) A)(0)=()∩{0,t) (1321) 则由(1.3.9),(1.313)-(1318)得 B(n(o)∩[0,t) (1.322 A()∪B()=A(u)UB{m(u)=[0,t)(1.3.23) f1n)(u)A+) (1324) B;(m)=Bm+() (1.3.25 A(u)=∪4"(ω) (1.3.26) B O B1m)(如) (1327) u(Bp())≤t<+0 (1.328) (B、(0)≤以(B()) (1329) 以及(13.27)得 limt(Bp())=(B2(o))=0 (1.3.30) 于是引理得证 引理133.对任一∈9和t<(o)我们有 (1.3.31) 证,由引理1,3.2知
lim g(aco) 于是由t<0(o)知,存在N>0,使 t<o(()(a≥N) (1333) 由a()的定义知 a(o)=4+(B2(o))(n≥N)(1.334) ()≥a+(a)(n=1,2,…)(1.3.35 由B{()的定义和(1.3.35)得 0≤H(B2(a)≤(B2贴m2(a)(n≥N)(1336) 由a2(o)的定义和(13.33)知 ax()<()≤+∞ (1337) 于是由引理1.3.2得 lim ucB (1.338) 由(1.334),(1.3.35),(1.3.36)和(1.3.38)立得(1.3.31).引理 证毕 定理131.在[0,σ(∞))(a∈)上处处有 lim x(n)(t, o)=x(4, w) (1.339) 证.设t<0(ω),于是存在N>0,使 ≥N)(1.340) 于是由性质(D)和引理133立得我们的定理 514.关于X(∞0)(n≥1)的进一步性质 没X()={x(t如),1<a(u)}是任一Q过程.以N4表示 由形如(xn=i,a>t)(a≤t,i∈EU{+∞})的集合所产生 的在空间,=(0>t)中的矿代数。于是有 ≤1,A∈N→∩2∈N (141) 关于不依赖于将来的随机变量,我们将采用的是[6]中的定义,即 定义14.1.函数8(c)(c∈2)叫做关于过程 XO