26抽象代数学 7.若G是有限群,N是其正规子群且[G:N]与|N互素,则对任意适合xN=e的元 必有x∈N. 8.设N是G的正规子群且N∩[G,G]=e,证明:NsC,C为G的中心 9.设G由下列形式符号组成:G={xy|i=0,1;j=0,1,…,n-1}.这里n>2. 假设xy=xhy,当且仅当i1=i,j=j,又设x2= e,xy=y-1x,求证:G是2n 阶非交换群且当n是奇数时G的中心为e},n为偶数时G的中心含有不止一个元素(上述G 称为二面体群,记为Dn) 10.设G是一个群,且对所有的a,b∈G均满足(ab)=ab,这里P是一个固定的素 数,令 S={x∈G|x"=e,m是一个自然数(可与x有关) 求证:(1)S是G的正规子群;(2)若G=G/S,则若适合x=2,则必有x=2. 11.设G是120阶群,H是G的子群且阶为24.若有G中不属于H的元素g使 gH=Hg,求证:H是G的正规子群 12.设G是非零复数乘法群,求证:G没有指数有限的真子群 2.4同态与同构 读者已经在高等代数中学过两个线性空间之间线性映射的概念简单地说 线性映射是保持线性空间上运算(向量加法与数乘)的映射.对于群来说,保持运 算的映射称为同态. 定义4-1设G1,G2都是群,f是G1→G2的映射且对任意的a,b∈G1, 都有 f(ab)= f(a)f(b) 则称f是群G1到G2的同态若f是单映射,则称群同态∫为单同态;若f是满 映射,则称f为满同态或映上同态;若同态f是双射,则称∫是同构群G到自 身内的同态称为自同态,到自身上的同构称为自同构 若∫:G1→G2是同构,则记之为G1≌G2,称群G1与G2同构.凡同构的群, 从运算结构上来看是一样的 例1设G1,G2是任意两个群,令∫:G1→G2为映射f(a)=e2,这里a是 G1的任一元素,e2是G2的么元,则f是同态,这个同态称为平凡同态 例2设G1=G2=G,令f:G→G使f(a)=a,即∫是恒等映射,则∫是 G的自同构,称为恒等自同构,记为Idc或I 例3设G1是实数加法群,G2是非零实数乘法群,作f:G1→G2使f(x)=2, 不难验证f是群同态.这是个单同态而不是满同态(G2中负数没有原像)
第二章群论27 例4设GLn(R)为实n阶一般线性群,G2为非零实数乘法群,定义f:A→|A|, 即将一个矩阵映到它的行列式,则∫是群同态.f为满同态但当n>1时∫不是 单同态 例5设G是任一群,a是G中的一个元素,作G→G的映射g:ga(x) axa-,则不难验证φa是群自同构,称为由元素a决定的G的内自同构 同态有下列性质 性质4-1若∫:G1→G2是群同态,则f(e)是G2的么元 证明对任意的x∈G1,f(x)=f(x·e)=f(x)f(e),两边消去f(x)得 f(e)=e,e'是G2的么元.证毕 性质4-2群同态f:G1→G2将逆元变为逆元,即f(x1)=f(x) 证明e'=f(e)=f(x·x1)=f(x)f(x1),故f(x1)=f(x)1.证毕 性质4-3f:G1→G2是群同态,则Imf是G2的子群 证明若a,b∈Im∫,不妨设a=∫(x),b=f(y),则ab-1 f(xy-1)∈Imf,因此Imf是G2的子群.证毕 (子群Imf称为G1在f下的同态像) 性质4-4f:G1→G2是群同态,e是G2的么元,则Kerf={x∈G1 f(x)=e}是G1的正规子群,称为同态f的核. 证明设x,y∈Kerf,则f(x)=f(y)=e,f(xy1)=f(x)f(y)1=e 因此xy-1∈Kerf,即Kerf是G1的子群.又对任意的g∈G1,f(gxg-1 f(g)f(x)f(g)1=f(g)e’f(g)1=e.这就证明了Kerf是G1的正规子群 证毕 性质4-5同构关系是一个等价关系 证明(1)G≌G,显然,只需取f=I即可. (2)若f:G1→G2是同构,令厂1是f的逆映射,则f(f-1(ab))=ab= ∫f(a)·ff(b)=f(fl(a)f-(b)).而f是单映射,因此f-1(ab) ∫-(a)f(b),即f:G2→G1是同构 (3)若f1:G1→G2,f2:G2→G3是同构,则对任意的a,b∈G1, f2f1(ab)=f2(f1(a)f1(b)=f2f1(a)f2f1(b), 即∫2f1是G1→G3的群同构.证毕 性质4-6设H是群G的正规子群,G到商集G=G/H上的自然映射是
28抽象代数学 群同态,称之为自然同态 证明由ab→ab=ab即知自然映射a→a是群同态.证毕. 定理4-1(同态基本定理)设f是群G1到G2的映上同态,则∫诱导出 1/Kerf→G2的同构f,其中f(a)=f(a)对一切a∈G1成立 证明令K=Kerf,由性质4知K是G1的正规子群.定义G1/Kerf到 G2的映射f:f(a)=f(a).我们首先必须验证其合理性若a=b,即Ka=Kb 或ab-1∈K,则f(ab-1)=e,e是G2的么元,于是f(a)f(b)1=e,即 f(a)=f(b),因此f的定义符合映射的要求由f之定义,f(ab)=f(ab)= f(ab)=f(a)∫(b)=f(a)f(b),因此f是群同态.若f(a)=f(b),则 f(a)=f(b),或f(ab-1)=e,即ab1∈K,因此a=b.这说明f是单同态 由假设∫是映上的,故∫也是映上的,从而f是同构.证毕 下面的推论4-1是同态基本定理的另一种形式 推论4-1设∫是G1→G2的群同态,则 G1/Kerf≌Imf 证明显然 推论4-2任一群同态f:G1→G2可分解为 f 其中n为G1→G1/Ker∫的自然同态,f为∫诱导出的G1/Kerf→Imf的同构 j为Imf→G2的包含映射(显然也是同态),也就是说我们有图1所示的交 换图. Gy G1/Ker f -Im f 图1 证明显然 定理4-2(对应定理)设f:G1→G2是映上的群同态,则下列命题为真: (1)若H是G1的子群,则f(H)是G2的子群; (2)若K是G2的子群,则f-(K)={x∈G1|f(x)∈K}是G1的子群
第二章群论29 且f1(K)彐Kerf; (3)映射H→f(H)定义了G1的包含Ker∫的子群集与G2的子群集之间 的一一对应,在这个对应下,H是G1的正规子群当且仅当f(H)是G2的正规子 群,这时还有 G1/H≌G2/f(H) 证明(1)用子群的判别定理直接验证即可. (2)因为G2的么元e’∈K,故f(K)彐Kerf.f-(K)是子群可直接 验证. (3)显然f(f1(K))=K,我们只需证明f1(f(H))=H对一切G的包 含Kerf的子群H成立即可得到需要的一一对应 Hf-1(f(H))是显然的.若a∈∫1(f(H)),即f(a)∈f(H),则存在 h∈H使f(a)=f(h),也就是f(ah-1)=e,故ah-∈ Ker fC H,即有 a∈H.这证明了f(f(H)sH,从而有H=f(f(H)).若H是正规子 群,则不难验证f(H)也是正规子群.反过来,若K是G2的正规子群,同样易证 ∫-(K)是G1的正规子群,具体的验证留给读者最后作g:G1→G2/f(H)的 映射,g(g)=f(g),则不难验证g是一个映上同态且Kerg=f(f(H)),由 同态基本定理即得所要求的同构证毕 命题4-1设f:G1→G2的群同态,则 (1)f是单同态的充要条件是Kerf={e; (2)若H1,H2分别是G1,G2的正规子群且f(H1)sH2,则存在G/H1 G/H2的同态f使图2所示的图可交换,即nf=fn,其中n,m2是自然同态 G1/H1 图2 证明(1)若∫是单同态,则f(e)=e’,e的原像只含一个元素,即 Kerf={e}.反之若f(a)=f(b),则f(ab-1)=e,ab-l∈Kerf={e.因 此ab-1=e,即a=b,f为单同态
30抽象代数学 (2)作f:G1/H1→G2/H2,f(g)=f(g),我们首先需要验证∫是一个映 射.若g1=百,则g1g∈H1,由假设f(gg1)∈H2,故f(k18)=,即 f(g)f(g)=e,于是f(g)=f(g1).又∫保持运算,事实上, f(81g)=f(81g)=f(1g)=f(g1)f(g)=f(g1)f(g) =f(g1)f(g), 因此f是群同态从定义显然有mf=fn.证毕 同态基本定理是群论最基本的定理之一,它有许多重要应用下面两个同构 定理可以看成是同态基本定理应用的例子 定理4-3(第一同构定理)设H,N是群G的正规子群且H≌N,则 GHN/H≌G/N 证明记f为G→G/H的自然同态,则不难验证f(N)=N/H,由对应定 理之(3)即得G/N≌G/H/N/H.证毕 定理4-4(第二同构定理)设H是群G的正规子群,K是G的子群,则 K∩H是K的正规子群且 KH/H≌K/H∩K. 证明因为H是正规子群,不难验证KH是G的子群(也可利用§22中 的习题4),显然H是KH的正规子群,作K→KH/H的映射f:f(x)= x=xH,显然∫映上.又f(xy)=xyH=xHyH,∫是群同态,Kerf={x∈ K|xH=H}=1x∈K|t∈H}=K∩H,由同态基本定理即得K/H∩K ≌KH/H.证毕 现在我们用同态基本定理来研究群的自同构设G是一个群,记AutG为 G的自同构全体,它在映射的合成下构成一群,称为G的自同构群.又若a∈G, 则映射x→axa+1是群G的自同构(例5),称为由a决定的G的内自同构G的 内自同构全体所成的集记为InnG我们有下述定理 定理4-5设G是一群,则InnG是AutG的正规子群,且 InnG≌G/C, 其中C是G的中心 证明设ga:x→axa-1,g:x→bxb-1分别是由a,b决定的内自同构则 qaqb=gab,ga=ga,因此InnG是AutG的子群.又若∫是G的任一自同