第二章群论21 [G:K]也有限,且 [G:K]=[G:H][H:K] 4.设H,K是群G的子群,且HK={hkh∈H,k∈K},求证:HK是G的子群的充 要条件为HK=KH. 5.设H,K是群G的两个有限子群,证明 所/s⊥H|·K H∩K| 6.设H,K是G的子群,且[G:H],[G:K]都有限,求证:[G:H∩K]也有限 7.设H,K是G的有限子群,且它们的阶互素,求证 H∩K=e} 8.求证:对G中任意元a,b,均有 (1)o(a)=o(a-1); (2)a(a)=o(b-ab); (3)(ab)=o (ba) 9.设G是n阶循环群,求证G的生成元个数恰为g(n) 10.设a,b是群G中的两个元素且ab=ba,若o(a)=m,o(b)=n,求证:G中必有 个元素的周期等于m,n的最小公倍数 11.设G是一个有限群,S,T是G的非空子集且G≠ST,求证:G|≥|S|+|T1. 12.设S是G的非空子集,令 C(S)={x∈G|xs=sx对一切s∈S}, 证明:C(S)是G的子群.C(S)称为S在G中的中心化子.问C(G)等于什么? 13.设G是一个群,H是其子群且H在G中的指数n有限,证明:若a∈G,则存在某个 k≤n使a*∈H. 14.设G是一个群,H,K是G的子群且H在G中的指数有限,求证:K∩H在K中的 指数也有限 §2.3正规子群与商群 我们在上一节介绍了子群傍集的概念.一般来说,群G的子群H的右傍集 与左傍集不一定相等.以S3为例,将S3看成是{x1,x2,x3}上的置换构成的群, e表示恒等置换: 令φ表示置换
22抽象代数学 1x2x3 重表示置换: 不难看出Φ=e,y3=e.我们约定置换的乘法这样定义:y为先作用Φ后作 用y,即x(y)=(x西)y,于是 ①y yop S3={e,φ,y,y2,φy,pφ}.令H={e,中,则H的左、右傍集如下 左傍集(3个):H={e,四},H={y,四},y2H={y2,y2p=φy}; 右傍集(3个):H={e,},Hy={y,乎y,H2={y2,亚y2=p 显然,ⅦH≠H,y2H≠Hy2.但是对于某些子群来说,Ha=aH总成立, 这样的子群H特别重要,现在来研究这种子群. 定义3-1设G是群,H是G的子群,若对任意的G中的元素a,总成立 Ha=aH,则称H是群G的正规子群(或不变子群),记为H<G 如何来判断一个子群是正规子群?我们有下列判定定理 命题3-1设H是群G的子群,若对任意的g∈G,及任意的h∈H,均有 ghg-∈H(或glhg∈H),则H是G的正规子群 证明只需证明gH=Hg即可.事实上,ghg-1∈H,hg-1=h1∈H 因此gh∈Hg,于是 gH S Hg.类似地 Hg cgH,即得结论,证毕 一个群G至少有两个正规子群:{e及G自身.这是两个平凡正规子群.若 G除了{e},G外再无其他正规子群,则G称为单群.由§2.2可知,素数阶群必 是单群 例1交换群的任一子群都是正规子群 例2在S3中令N={e,y,y2},则N的左傍集有两个:N,sN
,y,y2=yD}.N的右傍集也有两个:N,№={,p,y2Φ=φW}. 显然№=ΦN,N是正规子群 例3若H是G的子群且[G:H]=2,则H是正规子群 证明设a∈H,则G=H∪Ha,另一方面G=HUaH,因此aH=H H是正规子群.证毕 例4设G是一个群,a,b∈G,记[a,b=a-bab,称[a,b是a与b的 换位子元,G中所有换位子元生成的子群称为G的换位子子群(或称G的导 群),记为[G,G](或G),则[G,G]是G的正规子群 证明由§2.2可知 [G,G]={[a1,b1]…[an,bn]|a,b∈G,n∈N,e;=±1}, 注意到[a,b]1=[b,a],故 [G,G]={a1,b1]…[an,bn]|a,b;∈G,n∈N}. 另一方面,g[a,b]g1=[gag-1,sbg-1],于是对任意的g∈G, g[a1,b1]…[an,bn]g1 gal g glan, [ga1g1,b1gl[ga2g-,的2g-1]…[gang-1,gng-]∈[G,G], 因此[G,G]是G的正规子群.证毕 例5设C是G的中心,则C必是正规子群 例6群G的任意个正规子群的交仍然是正规子群 证明设{H}er是一族G的正规子群,H=∩H,对任意的g∈G, h∈H,ghg-1∈H对一切a∈I成立,因此shg-∈H,即H为正规子群.证毕 若S是群G的子集,定义由S生成的正规子群为所有包含S的G的正规子 群之交 例7设H是群G的子群,令N(H)={g∈G|gH=Hg},则H是 N(H)的正规子群. 证明只需证明N(H)是G的子群即可事实上,若a,b∈N(H),则 (ab)H=a(bH)=a(Hb)=(aH)b=(Ha)b=H(ab),故ab∈N(H).又 显然aH=Ha-1,故al∈N(H).这就证明了结论证毕 N(H)称为H在G中的正规化子,它是G中包含H作为正规子群的“最 大”的一个子群.事实上,若K是G的子群,且含H作为正规子群,则对任意的
24抽象代数学 c∈K,cH=Hc,故c∈N(H),即K三N(H) 由子群的定义我们知道,子群的子群仍是子群,但是正规子群的正规子群不 一定是正规子群我们将在以后看到确实有这样的例子:若H4K,K√G,但H 不是G的正规子群 正规子群的重要性在于利用它可以定义商群.设H是G的正规子群,由 §22知道H决定了G上的一个等价关系“~”,其商集G=G/~,现在要在集 合G上定义一个运算使G成为一个群注意G中的元素就是G的右傍集,我们 希望定义G的运算(记为乘法“·”)为 (Ha)·(hb)=H(ab). 引理3-1设H是G的子群,G为H的全体右傍集所成的商集,则(1)式是 G上运算的充要条件是H4G 证明设H是G的正规子群,若H=Ha1,=Hb1,则我们必须证明 Hab=Ha1b1.因为H=Ha1,=h1,故aa1l∈H,bb1∈H,于是 (ab)(a1b1)=abba1=ah1a1,其中h1∈H.但是H正规,ah1∈ aH=Ha,即ah1=h2a,h2∈H,因此ah1a1=h2aa11∈H.这就证明了 Hab= ha,b 反之若(1)式定义了G上的运算,即G×G→G的映射:(Ha,h)→Hab 设a任意,b=a-1,则(Ha,Ha-1)→Haa-=H.但对任意的h∈H, H=h,故(h,而-1)=(h,hha-1)→Haha-1.由于(Ha,hb)→Hab 是映射,故必须Haha-1=H,即aha-1∈H.由命题3-1知H是G的正规子 群.证毕 由上述引理可知只有当H是正规子群时,才能在G上按(1)式定义运算,我 们现在来证明G这时成为群首先G上的乘法满足结合律: (Ha·)·Hc=Hab·Hc=H(ab)c=Ha(bc), Ha·(·Hc)=ha·Hbc=Ha(bc), 于是 (Ha·)·Hc=ha·(hb·Hc) 又H=He显然是G的么元,Ha-1是Ha的逆元,因此G是一个群 定义3-2设G是一个群,H是G的正规子群,G为H的右傍集的集合,G 在Ha·h=Hab定义下构成的群称为G关于H的商群,记为G=G/H 为简单起见,商群G中的元素常用元素的等价类a,b等来表示(即a= Ha,b=h等),于是(1)式变为
第二章群论25 a·b G中的么元为,而求逆为 我们今后经常釆用这种写法,读者必须熟记a表示a所在的傍集Ha. 显然若G是交换群,则G也是交换群;若G是有限群,则G的任一商群也是 有限群且|G/H|=[G:H]. 例8设Z是整数加法群,n={0,±n,士2n,…}是Z的子群.由于Z是 交换群,nZ是正规子群,Z关于nZ的商群记为 Zn={0,1,2,…,n-1}, Zn中的加法适合:i+)=3,其中s适合i+j≡s(modn),因此Zn与§2.1例 6中定义的群是一回事,称Zn为模n的剩余类群 例9设G是一群,[G,G]是G的换位子子群,则商群G/[G,G]是交换 群.不仅如此,若K是G的正规子群且G/K是交换群,则[G,G]K,即 [G,G]是使G关于其正规子群之商为交换群的“最小”正规子群. 证明记N=[G,G],设a,b∈G,则a·b Naba-bba,但是aba-1b∈N,故№aba-1b-1=N,因此上式等于Nba b·a,即G/N是交换群.又若K4G且G/K交换,则对任意的a,b∈G Kaba -b Ka·Kb·K K6 由于G/K交换,故Ka·Kb·Ka-1·Kb1=Ka·Ka-·Kb·Kb-1=K,于是 Ka ba 6-1=K,aba-b-l∈K.这表明任两个元a,b的换位子属于子群K.而 [G,G]由换位子生成,故[G,G]∈K.证毕 习 1.若N是G的子群,H是G的正规子群,求证:NH是G的子群 2.交换群的任一子群都是正规的,问其逆是否成立?如不成立,试举反例 3.设H是有限群G的子群且|H|=m,又在G中阶为m的子群只有一个,证明:H是 G的正规子群 4.设N,H是G的两个正规子群且N∩H=e,求证:对任意的x∈N,y∈ 5.设N是G的循环子群,证明:若N是正规子群,则N的任一子群都是G的正规子群 设C是群G的中心且G/C是循环群,证明G是交换群