第二章群论31 构,则fgaf-(x)=f(af(x)a-1)=f(a)xf(a)-,即fgaf=ga)∈InnG 这就证明了InnG<AutG.最后,作G→InnG的映射:(a)=ga显然,B是 映上的,而KerB={a∈G|q(x)=x对一切x∈G}=a∈G|axa=x 对一切x∈G}=C,由同态基本定理即得 G/C s Inn G 证毕 例6若G是单群,H,K是群,是G到H的同态,则Im中是单群或是只 含H的单位元的平凡群.又若g是K到G上的同态,则Kerg是K的极大正规 子群,即真含有Kerg的K的正规子群只有K自己 证明由性质4可知Kerψ是G的正规子群.但G是单群,只有G的单位 元e组成的子群和G自身是G的正规子群,若Kerψ={e},则G≌Imψ,因此 Im中是单群,若Kerψ=G,则Imψ=le},其中e是H的单位元 现设L是真包含Kerg的K的正规子群,由对应定理,q(L)是G的正规子 群且不等于e,于是只能是g(L)=G.再由对应定理得L=K,于是Kerq是 K的极大正规子群.证毕. 1.验证下列映射是否群同态,如是,请求出同态核 (1)G是非零实数乘法群,f是G→G的映射f(x)=x2; (2)G同上是G→G的映射g(x)=2; (3)G是实数加法群,q是G→G的映射,g(x)=2 2.设O是n×n实正交阵全体,G=1,-1是两个元素构成的乘法群,求证 (1)On在矩阵乘法下构成一群; (2)映射g:A→|A|(A表示矩阵A的行列式)是O,到G的群同态,试求Kerg 3.设G是非零复数乘法群,N是G中绝对值等于1的复数全体,则N<G且G/N同构 于正实数乘法群 4.设G是实数加法群,N是所有整数组成的G的子群,证明:G/N同构于绝对值等于1 的复数乘法群 5.设G是非零复数乘法群,H为形如 的矩阵全体,其中a,b是不同时为零的实数.求证:H在矩阵乘法下构成一群,且与G同构
32抽象代数学 6.设G=D,是n次二面体群,G={xy|t=0,1;j=0,1,…,n-1},证明 (1)N={e,y,y2,…,y"-l}是G的正规子群 (2)G/N≌Z2 7.证明:群G的映射a→a-1是自同构的充分必要条件是G为Abel群 8.证明:N是G的极大正规子群的充要条件是G/N为单群 9.设N,H是G的两个不同的极大正规子群,则H∩N是H的极大正规子群(也是N 的极大正规子群) 10.设p是G的自同构且g(a)=a的充要条件是a=e,证明映射a→q(a)a-是单映 射若G是有限群,则G中任一元素都具有形状g(a)a1 11.G与φ同上题,若G有限且g2=1,证明:G是奇数阶Abel群. 12.设G是有限Abel群且|G|=n,若m是与n互素的自然数,证明映射g:x→xm是 G的自同构 13.设G是有限群且|G|>2,又G中有元素a,a2≠e,求证:|AutG|>1. 14.若G是有限群且|AutG|=1,证明:|G|≤2 15.若G是有限Abel群但不是循环群,证明:AutG不可能是交换群 16.设G是有限群,是G的自同构,令 I={g∈G|g(g)=g1}, 假定|I|>÷|G|,证明:G是一个交换群若|I|=|G|,证明:G含有一个子群H,H 是交换群且[G:H]=2 §2.5循环群三府 循环群是最简单的一类群,它们可以由一个元素生成,显然循环群都是 交换群.按照循环群的阶可以将循环群分成两类:无限循环群及有限循环 群.我们已经碰到过这两类群:无限循环群(Z,十),即整数加法群;有限循环 群(Zn,+),即模n的剩余类加法群,我们将在这一节中证明循环群本质上就只 有这两种,即若G是无限循环群,G必同构于整数加法群Z;若G是n阶循环群, 则G必同构于模n的剩余类加法群.我们还将研究循环群的结构以及循环群的 自同构群 定理5-1设G是循环群,若G的阶为无限,则G同构于整数加法群Z;若 G是n阶群,则G同构于模n的剩余类加法群Zn 证明(1)设G=<a>且G是无限群,作Z→G的映射f:m→a",则 f(m+n)=a"+=a",a"=f(m)f(n),故f是群同态显然∫是映上的.另
第二章群论33 方面若am=e,由于a的阶无限,故m=0,即f是单同态,因此f是同构 (2)设G=<a>的阶为n,作Z→G的映射f:m→a",类似于(1)知f 是群同态且是映上的.现来求f的核Kerf:若m=nk,则a"=a=e, m∈Kerf;反之,若a″=e,则由命题2-5可知,n能整除m,即m=nk,k为 某个整数,因此 Kerf={nk|k为整数}=nZ, 由同态基本定理得知G≌Z/nZ=Zn,证毕 推论5-1对任意两个循环群,如果它们的阶相同则必同构 有了定理5-1,我们可以将循环群的研究归结为对整数加法群Z及剩余类 加法群Zn的研究 定理5-2任一无限循环群的非平凡子群仍是无限循环群.又若G是n阶 循环群,则G的任一子群仍是循环群,且若r是n的因子,则G有且只有一个r 阶子群 证明(1)设G无限我们只需对Z证明相应的结论即可.设H是Z的子 群,H中值最小的正整数记为n,若m∈H,则n必为m的因子.事实上,若 m=nq+k(0≤k<n),则由m,n∈H知,h∈H.但n是H中最小的正整 数,只有k=0.另一方面,n的倍数显然属于H,故 H={0,士n,士2n,…} 显然H也是无限循环群. 2)再设|G1=n,不失一般性可令G=Zn若r是n的因子,n=qr,有 Z到Zn映上的自然同态n 且Kern=nZ,由定理4-2知道在Z的子群集与Z的包含Kern=nZ的子群 集之间存在着一一对应,因此只要求出Z的所有包含nZ的子群就可由此求出 Zn的所有子群.设K是Z中含nZ的子群,由(1)的证明知道K可以写成为qZ 的形状,q是自然数.由于 nK,n∈qz 故存在r∈Z使n=qr,即q是n的因子.又 n(qZ)=10,,2q,…,(r-1)引 是Z的一个r阶子群,因此Zn的子群都具有(1)式的形状.这表明对n的任
34抽象代数学 因子r,总存在一个r阶子群其形状如(1)式所示.不仅如此,Z的r阶子群只有 个事实止,若小(q2是Z的另个r阶子群,其中qZ卫nZ,则有r使n qr’,由(1)式知道水qZ)的阶等于r,故r=r,于是q=q,即水(qZ) (qE).证毕 比循环群更复杂一些的群是有限生成的交换群.我们将在后面讨论它们的 结构.一个有趣的问题是:一个有限交换群仆么时候是一个循环群?下面我们给 出一个充分必要条件 定理5-3设G是一个有限阶交换群,则G是循环群的充要条件是G|是 使a=e对一切a∈G成立的自然数n中的最小者 证明若G=<a>,显然a的周期为|G|且g=e对一切g∈G成立, 故G|确是使g"=e对一切g∈G成立的最小自然数反过来若|G|是使g"=e 对一切g∈G成立的最小自然数我们来证明G是循环群若G中存在某个元 a,o(a)=|G1,则G=<a>是循环群;若G中不存在这样的元,不妨设G中 元a的周期最大,o(a)=m<|G|,这时若b是G中任一元,且o(b)=k,则k 必须是m的因子事实上若k不是m的因子,则m与k的最小公倍数大于m而 由22中的习题10知道G中存在一个元素其周期等于m与k的最小公倍 数,这将与m的最大性矛盾.一旦G中任一元的周期是m的因子,那么对G中 任一元g,gm=e又将与G是使g"=e对一切g∈G成立的最小自然数这一 假定矛盾.证毕 接下去我们来研究循环群的自同构群,先证明如下有用的引理 引理5-1设G是任一群,是G的自同构,则 (1)o(a(a))=0(a)对一切a∈G成立; (2)若G可由子集S生成,则G也可由(S)生成 证明(1)设o(a)=m,则(a(a)m=o(am)=a(e)=e.又若o(a)=e, 则a(a)=e.而是单同态,故a2=e,即有mk,因此o(a(a)评=m (2)G由S生成所以G中任一元g可写为i g=蚱…$(e;=士1,51∈S) 的形状,故 (g)=(s1)"o(52)2…o(Sn) 但a是同构,故a是映上的,即G中任一元都具有a(g)的形状因此G中任一死 均可由(2)式来表示,即G=<o(S)>.证毕 命题5-1若G是无限循环群,则AutG为2阶循环群. 证明不妨设G=Z.Z只有两个生成元:1与-1.由引理5-1知Z的自同
第二章“群论35 构将生成元变成生成元而Z=<1>,因此若a∈AutZ,则只可能d(1)=1或 d(1)=-1,若a(1)=1,则a是Z的恒等自同构;若∞(1)=-1,则a(m) m,a也是Z的一个自同构,故|Autz|=2,而2是素数,2阶群必是循环群, 因此,命题得证.证毕 注由于2阶循环群同构于Z2,故AutZ≌Z2 有限循环群的自同构群比无限循环群的自同构群要复杂些.在§2.2的例7 即 Euler定理的证明中我们定义了这样一个群G:G由小于n且与n互素的正整 数组成,G中元素的乘法m:k=s由同余关系mk≡s(modn)给出,这个群通常 记为Un我们要证明 Aut Z≌Un,先证明一个引理. 引理5-2Zn中元素而是Z生成元的充要条件为m与n互素 证明若(m,n)=1,则存在整数s,t,使 +nt=1 于是1=m+ntm∈<m>,因此Zn=<剂>,是生成元.反过来若n 是生成元,则1∈<m>,也就是说1=sm,即m与n互素.证毕 命题5-2设G是n阶循环群,则 Autgse u 证明不妨设G=Zn,由引理5-1知道,若a∈AutG,则c(1)必是G的生 成元,因此若a(1)=m,则m与n互素.又任一群的自同构a必为a在该群的生 成元集上的作用唯一确定,特别对循环群Zn而言,a被a(1)所完全确定事实上 若(1)=m,则(k)=m.这一事实表明映射g (m=a(1) 是AutZ→Un的单映射.事实上g也是满映射.因为对任一m∈Un,令() mk,则a是Zn的自同态而因为(m,n)=1,存在s,t使ms+nt=1,于是 a(3)=1,但是1生成Zn,故a是满同态.再因为Zn是有限群,满同态必是单同 态,故是自同构这样对任意的m∈Un,存在a∈AutZ,使g(a)=m,这就证 明了g是满映射.我们得到了AutZ,→Un的一一对应g,现在来证明g是群同 构.设a,r∈ Aut Zn,g(a)=m,g()=k,即(1)=m,(1)=设 g(xo)=r,则z(1)=元.但另一方面, ra(1)=r(m)=mk=3