16抽象代数学 6.设G是一个群,且对任意的a,b∈G均有(ab)2=a2b2,证明G是一个Abl群. 设G是一个群且对某3个连续的自然数i=n,n+1,n+2,有(ab)=ab对一切 a,b∈G成立,则G是一个Abel群 8.设G是偶数阶群,证明必存在G的某个元素a≠e,且a-1=a 9.设G是一个半群且适合下列两个条件 (1)存在e∈G,使对一切a∈G,有ae=a; (2)对G中任一元a,必存在元素a’,使a′= 证明G必是一个群(注:这是群的又一等价定义,它的条件要比我们定义中的条件弱一些) 10.设G是一个有限半群,且适合条件: (1)存在e∈G,使对一切a∈G,ae=a; (2)对G中任一元a,若ab=ac,则b=c(即左消去律成立), 证明G是一个群 §2.2子群及傍集 定义2-1设G是一个群,H是G的子集,如果H在群G的运算下也成为 群,则称H是群G的子群. 显然子群的概念具有“传递性”即若H是G的子群而K是H的子群,则 K也必是G的子群 如何判别群的子集是子群,我们有下列命题. 命题2-1设H是群G的非空子集,如果H适合下列两条件之一,则H是 G的子群 (1)对任意的a,b∈H,ab∈H且a-∈H; (2)对任意的a,b∈H,ab∈H. 证明(1)因为H是G的子集,所以H中元素的乘积显然适合结合律.又 若a∈H,则al∈H,故a·a-1∈H,即e∈H.因此H是G的子群 (2)由a∈H得aa-∈H,即e∈H.又a-=e·a-l∈H,若b∈H, ∈H,则a(b)1∈H,即ab∈H.由(1)即知H是G的子群.证毕 推论2-1设H是群G的有限子集,若对任意的a,b∈H,均有ab∈H 则H是G的子群 证明由上述命题中的(1)只需证明对任意的a∈H,a-必属于H即可 由已知条件知a,a2 …皆属于H.但是H是有限集,因此必存在r>s,使 a=a.由消去律得a=e,但r-s>0,故a1∈H.显然a-1=a′-1 这就证明了结论.证毕 对任意一个群G,G自身也可以看成是它的子群.另外,G的么元组成G的
第二章群论17 子群(只含一个元素)这两个子群称为G的平凡子群.不是平凡的子群称为非 平凡子群 下面我们来看一些子群的例子 例1设Z是整数加法群(见§1.5,例1),又设n是固定的某个自然数,令 H={0,土n,士2n,…},即H由n的倍数组成,则H是Z的子群.这个子群通 常记为nZ 例2设V是数域K上的向量空间,V在向量的加法下成为一群.V1是V 的子空间,则V1是V的子群 例3设GLn(K)是数域K上的n阶一般线性群,SLn(K)是n阶特殊线性 群(见§2.1例8、例9).SLn(K)是GLn(K)的子群 例4设R是实数全体在加法下组成的群,Q为有理数全体,则Q是 (R,十)的子群另外,记R·是非零实数全体组成的乘法群,虽然R·是R的子 集,但是由于R上的运算与(R,+)上的运算不同,因此R不是R的子群. 例5设Sn是n次对称群,它是n个元素集{a1,…,an}上的置换全体构成 的群.设a1,…,ak是其中的k个元素,则所有保持a1,…,ak不动的Sn的元 素全体构成Sn的一个子群 定义2-2设G是一个群,C={c∈G|gc=g对一切g∈G},即C中 元素与G中任意一个元素的乘法可交换,称C是G的中心 命题2-2群的中心必是子群 证明设C是群G的中心,若a,b∈C,对任意的g∈G,则 (ab)g=a(bg)=a(gb)=(ag 又由ag=ga可推出ga-1=a-1g,故ab∈C,a-∈C,由命题2-1即知C是 G的子群.证毕 例6设G是一群,{H}∈n是G的一族子群,则∩H仍然是G的子群事 实上若a,b∈∩H,则a,b属于每个H。,而H。是子群,故ab-1∈H,这对任 a均成立,因此ab1∈∩H,即∩H。是子群 定义2-3设S是群G的子集,G中包含集合S的所有子群的交称为由S 生成的子群,记为<S> 注意包含S的子群集非空,因为G本身包含S又<S>是G中包含S的 最小”的子群.若S本身是G的子群,则容易看出<S>=S 命题2-3设S是G的子集,则
18抽象代数学 在证明这个命题之前,我们先作一些说明.上式表示<S>可以由所有有限 乘积a·a2·…·a组成,其中n可取任何自然数,a;可取S中任何一个元 素,且允许重复取 证明先证集合a·a·…·a}构成一子群.事实上若设a=a· a,b=姓 b,则 b-1= anb b21 显然仍属于原集合,故它是一个子群.又这个子群包含S(取n=1,e1=1),对 任一包含S的G的子群H,a4∈ScH,故a·…·a∈H.这就证明了子 群{a·…·a}sH,故它就是<S>.证毕 若H=<S>,则S中元素称为H的生成元又若S是一个有限集,则H 称为有限生成的子群特别若G可由一个有限集生成,则称G是有限生成的群 如果G可由一个元素生成,那么称G是一个循环群.显然有限群总是有限生成 的注意,无限群也可以是有限生成的,比如整数加法群Z可由一个元1生成, 因此Z是一个无限循环群 定义2-4设a是群G的元素,若存在最小的自然数n,使a=e,则称n是 元素a的周期 e的周期为1.若不存在自然数n,使a"=e,则称a的周期为0(或称a的周 期为∞).一个元素a的周期用o(a)表示(有时也用|a|表示) 命题2-4设a是群G的元素,o(a)=n,则由a生成的G的循环子群 <a>的阶恰为n. 证明作{a,a2,…,a"1,a"=e},不难验证这个集合是G的子群,且 <a>={a,a2,…,a-1,e},于是|<a>|=n.证毕 命题2-4给出了周期的另一个等价定义:a的周期等于<a>的阶 周期有如下的性质 命题2-5设a是群G的元素,且o(a)=n,若m是一个整数,且a"m=e, 则n|n 证明若n不能整除m,则m=mq+r,0<r<n,r,q为整数,e=a a=a,与n是a的周期矛盾.证毕 现设H是G的子群,我们要利用H来构造G的分划 定义2-5设H是群G的子群,a∈G,则称集合Ha={ha|h∈H是 G的一个右傍集(或称右伴集).称集合aH={ahh∈H是G的一个左傍集 (或称左伴集) 现在我们先来求两个右傍集Ha=H的充要条件.如果Ha=hb,则
第二章群论19 a=ea∈Ha,故a=hb,即ab-∈H.反过来,若ab-∈H,则ha=ha(b (hab)b∈Hb,于是HaHb,同理可证 hbc ha,于是Ha=h 又若Ha,Hb是任两个右傍集,作Ha→Hb的映射ha→hb,这是个一一对 应,因此|Ha|=|「,即Ha,Hb的元素个数相等 最后,若H≠H,则Ha∩H=∞.事实上,若h1a=h2b∈Ha∩H, 则ab-=h1h2∈H,由前面的分析知Ha=h,引出矛盾 由以上分析我们知道右傍集(类似地左傍集)有如下性质 性质2-1(1)Ha=Hb(aH=bH)的充要条件是ab-∈H(a-b∈H); (2)|Ha=|h|(aH|=|bH|) (3)若Ha≠(aH≠bH),则Ha∩b=(aH∩bH=0). 从这些性质我们可以看出G上的右傍集全体(或左傍集全体)构成了G的 一个分划,且每一块含的元素相同,即等于H=He的阶由此我们就得到了著 名的 Lagrange定理. 定理2-1( Lagrange定理)设H是有限群G的子群,则|H|是G的因子 既然G的右傍集全体构成了G的一个分划,由§1.3中的命题3-1知它决 定了G中的一个等价关系:a~b当且仅当Ha=H,当且仅当ab∈H.在这 个等价关系下的商集G为G的右傍集全体.|G即右傍集的个数称为子群H在 G中的指数,记为[G:H].于是 Lagrange定理也可以改写如下 定理2-1′若H是有限群G的子群,则 1G|=|H|·[G:H] 注意如果我们改用左傍集来定义指数,则也可以得到相同的结论,而且我 们还可以看出用左傍集定义的指数与用右傍集定义的指数是相等的.事实上我 们还可以直接证明这一点:作H的左傍集集合到H的右傍集集合的映射: aH→Ha-1,读者不难自己证明这是个一一对应,因此H左傍集的个数等于 H右傍集的个数.但是读者需注意,一般来说Ha≠aH,我们将在下一节讨 论这个问题 Lagrange定理有许多推论,我们简述如下 推论2-2若G是有限群,则G中任一元素的周期必是G的因子 证明o(a)=|<a>|,故o(a)|G|.证毕 推论2-3若G是有限群,则对任意的a∈G,ao=e, 证明由推论2-2即得.证毕 推论2-4若丨G丨=p,p是一个素数,则G是循环群
20抽象代数学 证明若a≠e,则<a>|整除p.只可能|<a>|=p,故G=<a>,G 是循环群.证毕 作为应用,我们用 Lagrange定理的推论来证明数论中的 Euler定理与 Fermat小定理 首先我们定义数论上常用的 Euler o函数如下:φ是自然数集N上的函数, g(1)=1,g(n)等于“小于n而与n互素的正整数的个数”,比如g(2)=1, g(3)=2,g(4)=2,g(5)=4,g(6)=2,g(7)=6,g(8)=4,等等若p是 素数,则g(p)=p-1. 例7 Euler定理:若a,n都是正整数且a与n互素,则 证明令G={小于n且与n互素的正整数},则G的阶恰为g(n)定义G 中元素的乘法“·”如下 m·k=s,其中s适合mk≡s(modn) 若m,k与n互素,则不难验证s也与n互素.因此G在上述乘法运算下封闭.结 合律也不难验证.事实上若m,k,l∈G,则(m·k)·l=m·(k·l)=5,其中 s适合mkL≡s(modn).显然1是G的么元.对任意的m∈G,因为m与n互 素,必有0<k<n及整数t使mk+nt=1.显然k与n互素,故k∈G且k是 m在G中的逆元,这样G就成为一个群.由推论2-3,对G中任一元素a,均有 a()≡1(modn).当a>n时,令a=nq+r,0<r<n,则r∈G.由于 a≡r(modn),因此仍有等式am)=1(modn).证毕 例8 Fermat小定理:设p是素数,a是自然数,则ap≡a(modp) 证明若a与巾互素,由 Euler定理有a(p)≡1(modp),但g(p=p-1, 故a≡1(modp),两边乘以a即得结论.当a是p的倍数时结论显然成立 证毕 1.设H1,H2,…是群G的一族子群,且H1CH2CH3C…,证明∪H;是群G的子 群.若H,K是群G的子群且两者互不包含,求证HUK必不是G的子群 2.设G是一个10阶循环群,即G={e,a,a2,…,a°},a10=e,求由a2生成的子群H 的右傍集全体 3.设H,K是群G的子群且K是H的子群,若[G:H]及[H:K]皆有限,求证