第一章预备知识 s-A.=.(S-A) 2.设S是一个有限集且有n个元素,证明:S共有2”个子集(包括空集) 指出下列推理的错误:设~是集S中的一个关系,若它适合对称性和传递性,则它也 适合自反性证明如下:由a~b可得b~a(对称性),再由传递性得a~a 4.设N是自然数集,定义NXN上的一个关系: (a,b)~(c,d),当且仅当a+d=b+c, 证明这是个等价关系 5.设f:A→C,g:B→D是映射,定义∫×g (f×g)(a,b)=(f(a),g(b)),(a,b)∈A×B 证明f×g是A×B→C×D的映射,且证明如f,g皆为满映射(单映射),则∫×g也是满 映射(单映射) 6.设A,B是非空集,证明AXB与B×A之间存在一一对应 7.若S是一个有限集,f:S→S是S到自身的映射.证明: (1)若f是单映射,则∫是双射; (2)若∫是满映射,则∫也是双射 8.设f:A→B,g:B→C是映射,证明: (1)若f,g皆为单映射,则g·f也是单映射; (2)若f,g皆为满映射,则g·f也是满映射; (3)若f·g皆为双射,则g·f也是双射,且(g·f)=f1·g
第二章群论 §2.1群的概念 定义1-1设S是一个非空集,在S上存在一个二元运算记为“·”(乘法) 即对任意的x,y∈S,总存在唯一的元x·y∈S与之对应.又该乘法适合结合 律,则称S是一个半群 半群的乘法有时被省略,如a·b记为ab.一个半群的乘法如适合交换律, 则称这个半群为交换半群 如果在一个半群S中存在一个元素e,使对一切a∈S,均有 ea=ae=a, 则称e是S的么元(或恒等元、单位元).这样的半群称为么半群 定义1-2一个么半群G(么元为e)如果适合下列条件则称为群:对G中任 元a,均存在a’,使 a -aa=e 元素a′称为a的逆元,记为a-1. 群G的运算若适合交换律,则称之为交换群或Abel群.交换群的运算有时 用加法“+”来表示,这时么元记为0,a的逆元(也称负元)记为一a,这种群也称 为加法群 个群如果只含有有限个元素就称为有限群,否则就称为无限群.通常用 G表示G的元素个数若|G|=n,则称G为n阶群 群是一类相当普遍的代数体系,我们已经学过的许多代数结构实际上都是 种群结构 例1全体整数Z={0,±1,±2,…}在通常数的加法下成为一个群.这 个群是加法群,么元为0.若n∈Z,n的逆元就是一n.但是要注意的是Z在通 常的数的乘法下不是群,比如0没有逆元素.Z在乘法下只是一个半群,当然它 是一个交换么半群,乘法么元为1. 例2有理数全体Q在通常的数的加法下也是一个加法群.同理实数全体
第二章群论13 及复数全体在数的加法下都成为群Q在数的乘法下不成为群(仅是交换么半 群),但是如果用Q表示非零有理数全体,则Q·在数的乘法下成为一个交换 群,么元为1,又的逆元为P.同理R(非零实数全体),C·(非零复数全体)在数 的乘法下都是群 例3G=1,-1},在数的乘法下成为一个群,么元为1,-1的逆元是它 自身.这是一个只有两个元素的群 例4设S是一个集合,S上的一个一一对应称为S的一个变换.S的全体 变换记为A(S).定义A(S)中两个变换的乘法为其合成,则由于映射的合成适 合结合律(命题4-1),且Ids显然是A(S)的么元,A(S)是一个么半群,对A(S) 中任一变换f,它的逆变换∫适合f·f=f1·f=l4,故A(S)是一个群 这个群称为集合S上的变换群. 例5在例4中若S是一个有限集且有n个元素,则A(S)称为n阶(或n 次)对称群,通常用Sn来表示.由于S的全体元素的任一排列决定了S的一个 变换且S的任一变换决定了一个全排列,因此Sn的阶为n!(注意n阶对称群 的阶不是n) 例6设G={0,1,2,…,n-1},在G上定义一个加法“+”(为了与数的 加法区别开来,我们在“+”上加了一点如下: i+j=t+j,若i+j<n; +j=i+j-n,若i+j≥ 上面的定义等价于下列定义: i+j=k,若i+j≡k(modn) 即若i+j除以n以后的余数为k,则定义i+j=k.利用这个定义可以方便地验 证结合律: (i+j)+m=i+(j+m)=k,其中i+j+m≡k(modn) G的么元为0,i的逆元为n-i.这个群称为模n的剩余类加法群,通常记之为 Zn我们今后还要仔细地研究它 例7设V是实n维向量空间,V上的向量全体在加法下也构成一个群,这 个群的么元是零向量.这也是一个加法群 例8设K是一个数域(有理数域、实数域或复数域等),K上n×n非异矩
14抽象代数学 阵全体在矩阵的乘法下构成一个群,么元为In,即n阶单位阵.当n≥2时这个 群是非交换的,通常称这个群为域K上的n阶一般线性群,记为GLn(K) 例9设SLn(K)={A∈GLn(K)||A|=1},即行列式为1的n×n矩 阵全体.不难看出SL(K)在矩阵的乘法下也构成一个群,称为n阶特殊线 性群. 例10设H=11,士i,土j,士k共有8个元素,在H上定义运算: k,j=一kj k=j,不难验证 H成为一个群,称为 Hamilton四元数群. 下面我们来讨论群的简单性质 性质1-1群的么元唯 证明设e与e'都是群G的么元,则e'=e,ee′=e',故e=e.证毕 性质1-2对群G中任一元a,其逆元也唯 证明设a1,a2都是a的逆元,则a1=a1e=a1(aa2)=(a1a)a2= a2.证毕 性质1-3对群G中任一元a有(a-1)-1=a 证明a·al=a-l·a=e,此即表明(a-1)-1=a.证毕 性质1-4设a,b是群G中元素,则(ab)1=b-a-1 证明(ab)(ba-1)=a(bba-1)=a(ea1)=aa1=e, (ba(ab)=b(aab)=b(eb)=66 证毕 性质1-5对群G中任意两个元素a,b,方程ax=b及ya=b在G中有唯 解. 证明ax=b的解为x=ab,y=b的解为y=ba-1.证毕 性质1-6左、右消去律在群中成立即若au=b,则a=b,又若w=wb 则a=b 证明在等式a=bu两边右乘v-1,得(au)u-=(bu)u-,由此即可推得 =b.同理可证左消去律也成立.证毕 在做群的乘法运算时为了方便,记 a·a·a=a 为n个 之积.又记a"=(a-1)",则有下列性质 性质17am·a”=am+n, 证明两边都等于m+n个a相乘.证毕 性质1-8(am)"=a 证明两边等于mn个a之积.证毕. 性质1-9(a-m)n
第二章群论15 证明两边等于mn个a-1之积.证毕. 性质1-10(am) 证明am·am=a″·(a-1)m=e,因此(am)-=am,于是(a")-n= ((am)-1)"=(am)”=a-m 又,(a-m)"=(a-1)m)n=(a-1)-m=((a-1)-1)m=a 证毕. 为方便起见,约定a°=e 若G是加法群,则记a+…+a=na,于是有相应的性质如下 个 性质1-7ma+na=(m+n)a., 性质1-8n(ma)=nma 性质1-9n(-ma)=(-mn)a. 性质1-10(-n)(ma)=(-mn)a,(-n)(-ma)=mma 约定0a=0 1.判断下列集合在指定运算下是否成群? (1)G=|全体整数},运算为数的减法; (2)G={全体正整数},运算为数的乘法; (3)G=|全体正有理数},运算为数的乘法; (4)G=|全体正实数},运算为数的乘法; (5)G=|数域K上n×n矩阵全体},运算为矩阵的乘法; (6)G同(5),运算为矩阵的加法 2.设在G中有两个元素a,b,适合ab=ha,求证:对任意的自然数n,(ab)=a"b”.试 举例说明存在某个群中的两个元素a,b,使(ab)2≠a2b2 3.证明下面4个矩阵在矩阵乘法下构成一个群: 01’0 01 0 4.设V是数域K上的线性空间,v为V→K的所有线性函数全体,定义V中两个函 数f,g的加法为 (f+g)(u)=f(u)+g(u) 证明:V在此加法定义下构成一个群 5.证明:若群G中任一元素的逆元是它自身,则G是一个Abel群