6抽象代数学 由R导出的分划记为P′={B,},设a∈A,且a所在的等价类为A;,由于 A=UB,故a属于某个B,,现只需证明A=B,即可对A,中任一元c,有 a.另一方面由于B,是a的等价类,故c∈B,于是A,≌B,反之,若 b∈B,则b~a.但凡与a等价的元素必须在A;之中,故B,sA由此即推出 A,=B3,P'=P.证毕 定义3-3设~是集A上的一个等价关系,A上的所有等价类的集合称为 A关于等价关系~的商集,记之为A~或A 注意A实际上是A的某些子集(全体等价类)的集合,A中的元素是A中某 个元素所在的等价类若a∈A,则a的等价类作为A的元素通常记为a. 例1中的商集5为S中单点子集(即只含有一个元素的子集)组成的集.例 2中的商集只含有2个元素,即奇数集与偶数集例3中的商集为 Descartes平 面上以原点为中心的圆全体组成的集合.例4中的商集是所谓的射影直线例5 中的商集含有n个元素,分别记为0,1,2,…,n-1,其中i表示由所有被n除 后余数等于i的整数全体,这个商集记为Zn称为模n剩余类集,我们以后还要 来研究它 查达理91.4映射 定义4-1设A,B是两个非空集合,M是A到B的一个关系(即McA B),若M适合下列条件:对A中任一元素a,有且只有一个B中的元素b,使 (a,b)∈M,则称M是集合A到B的一个映射或映照.A称为这个映射的定义 域,B称为映射的值域 从映射的定义我们可以看出,对A中任一元a,有且仅有一个元b与a对 应这个对应关系有时记为a→b,映射习惯上用小写英文字母f,g等来表示 如上述映射记为f,则b=f(a).A到B的映射∫简记为 f:A→B. 读者不难看出,映射是函数概念在集合上的推广.与函数一样,A到B的两个映 射f与g相等当且仅当f(a)=g(a)对一切a∈A成立 例1S→S的映射a→a称为恒等映射,记为Ids或Is 例2A,B是两个非空集,b∈B,若令f:A→B为f(a)=b对一切 ∈A,则f是一个映射,称为常值映射 例3设R是实数集,f(x)=x2定义了R→R的一个映射 例4设Z是整数集,定义Z×Z→Z的映射为(m,n)→m+n.这也是
第一章预备知识7 个映射,实际上它是一个运算 例5设A,B是非空集,作A×B→A的映射(a,b)→a这个映射称为 A×B到A上的投影.同样也可以定义A×B到B上的投影. 例6设A是非空集,~是A上的一个等价关系,A是A在这个等价关系 下的商集.定义A→A的映射为:a→a,即将A中元素映到它所在的等价类 上,这个映射称为A到其商集上的自然映射 现设f:A→B,若a∈A,则称f(a)为a在f下的像.令Imf={b∈B b=f(a)},即Imf为A中元素在f下的像全体.称Imf为A在f下的像,有 时记为f(A).若b∈B且存在a∈A使b=f(a),则称a是b关于f的一个原 像注意原像可能不唯一,即可能存在a′≠a,但f(a)=f(a).如例2中的A 若包含不止一个元素,则常值映射的原像就不唯一.b的所有原像的全体构成A 的一个子集,记之为f1(b)又若B'sB,B'中所有元素在A中的原像记为 ∫-1(B) 定义4-2设∫:A→B,若Imf=B,则称f∫是映上映射或满映射,若对A 中任意两个元素a≠a’,均有f(a)≠f(a),则称f是单映射若f既是满映射 又是单映射,则称∫是双射或一一对应 从定义可以看出f是满映射的充要条件是B中任一元素均在A中有原像 f是单映射的充要条件是Imf中的元素在A中只有唯一的一个原像.f是双射 的充要条件是B中任一元素有且只有一个原像 若f:A→B是一个双射,则对B中任一元素b均有唯一的元素a与之对 应定义B→A的映射b→a,即它将B中元素映到它(关于f)的原像.显然这 也是一个映射,称为∫的逆映射,记为f1 现设A,B,C是3个非空集,∫:A→B,g:B→C为映射,定义g与f的 积g·f为A→C的映射 f(a)=g(f(a)) 映射g·f也称为∫与g的合成,g·∫有时简记为gf.只要一个映射的值域属 于另一个映射的定义域,它们便可以合成映射合成满足结合律,即有下述命题 命题4-1设f:A→B,g:B→C;h:C→D为映射,则 (h·g)·f=h·(g·f). 证明对任意的x∈A,(h·g)·f(x)=(h·g)(f(x))=h(g). h·(g·f)(x)=h(g·f(x))=h(g(f(x)).由此即知结论成立.证毕 命题4-2设f:A→B是映射,则
8抽象代数学 1)f是单映射的充要条件是存在g:B→A,使g·f=IA (2)f是满映射的充要条件是存在g:B→A,使f·g=IB (3)∫是双射的充要条件是存在g:B→A,使g·f=IA且f·g=IB, 证明(1)若f是单映射,Imf是其像,设B'=B-Imf.定义B→A的映 射如下:若b∈Imf,令g(b)=f1(b),又因为A不空,所以至少含一个元a, 对一切b∈B',令g(b)=a0,显然我们定义了B→A的映射且g·f=IA反 之若g·f=IA,且f(a1)=f(a2),则gf(a1)=gf(a2),即a1=a2,这证明 f是单映射 (2)设f是满映射b,b2是B的两个元素,现先证明若b1≠b2,则f(b1) ∩f(b2)=⑧.事实上,若a∈f(b1)∩f(b2),则b1=f(a)=b2与假设 矛盾这样B中元素的原像组成了A上的一个分划P={(b)|b∈B}.在每 个f1(b)中取且只取一个元素①,定义B→A的映射g如下:g(b)等于 f1(b)中取定的那个元素.不难看出g是B→A的映射且适合fg=IB,反过 来若存在g:B→A,使fg=IB,设b是B中任意一个元素,则g(b)∈A,且 ∫g(b)=b,即g(b)∈∫(b),因此∫是满映射 (3)由(1)和(2)即得.证毕 1.5二元运算 数然法 定义5-1设S是一个集合,S×S→S的一个映射称为S上的一个二元 运算 例1Z×Z→Z的映射(a,b)→a+b是一个二元运算,称为加法运算 例2设V是实n维向量空间,V×V→V的映射(u,v)→u+v也是 个二元运算 例3设Mn(R)是实n阶矩阵全体,Mn(R)×Mn(R)→Mn(R)的映射 (A,B)→A·B也是一个二元运算(A·B表示通常的矩阵乘法),称为矩阵的 乘法 例4设S是一个集合,P(S)是由S的所有子集(包括空集)组成的集合 P(S)×P(S)→P(S)的映射(A,B)→A∪B以及(A,B)→A∩B都是 P(S)上的二元运算 ①事实上我们在这里应用了选择公理,在本教程中我们始终接受选择公
第一章预备知识9 例5设R是实数集,RXR→R的映射(x,y)→min(x,y)也是一个二 元运算. 在同一个集合上可以定义各种不同的运算.比如在Z上可以定义加法、减 法、乘法等等.这些运算通常适合一定的规律.常见的规律有:结合律、交换律、分 配律等.为了叙述这些规律,我们把二元运算的记法作一些简化.用*表示运算, (a,b)在二元运算(作为映射)下的像记为a*b.不同的运算可用不同的记号(如 ,·等)表示 定义5-2设*,·是集S上的两种运算,则 (1)若对任意的a,b,c∈S,均有 (b*c)=(a*b)*C 则称运算兴满足结合律; (2)若对任意的a,b∈S,均有 则称关满足交换律; (3)若对任意的a,b,c∈S,均有 则称*关于·适合左分配律.又若(b·c)*a=(b*a)·(c*a),则称兴关于 适合右分配律.同时适合左、右分配律者称为适合分配律. 若S上的运算*适合结合律,则a*(b*c)=(a*b)*c,我们把这个相同 的元素记为a并b*c,而省去括号 利用映射的概念,还可以将二元运算的概念作推广.比如我们可以定义所谓 的n元运算为:S×…×S→S的映射.我们还将S×T→S的映射也称为一种 运算.比如实向量空间V上的数乘可看成是V×R→V的映射.所有这些概念极 大地拓广了数集上运算的概念 §1.6偏序与zm引理天赚种 定义6-1设A是一个非空集,P是A上的一个关系,若P适合下列条件 (1)对任意的a∈A,(a,a)∈P; (2)若(a,b)∈P且(b,a)∈P,则a=b; (3)若(a,b)∈P,(b,c)∈P,则(a,c)∈P
10抽象代数学 则称P是A上的一个偏序关系带偏序关系的集合A称为偏序集或半序集 若P是A上的偏序关系,我们用a≤b来表示(a,b)∈P 例1实数集上的小于等于关系是一个偏序关系 例2.设S是集合,P(S)是S的所有子集构成的集合,定义P(S)中两个元 素A≤B当且仅当A是B的子集,即AsB,则P(S)在这个关系下成为偏 序集 例3设N是正整数集,定义m≤n当且仅当m能整除n,不难验证这是 个偏序关系.注意它不同于N上的自然序关系 在偏序集中,并非任意两个元素之间都有序关系.比如例3中数2与数3互 相间没有整除关系但是有一类偏序集,其中任意两个元素均有序关系即若a b∈S,或者a≤b或者b≤a,这样的偏序集称为全序集.一个偏序集中的全序 子集称为该偏序集的一根“链”例1是全序集 为方便起见,我们记b<a为b≤a且b≠a.偏序集中的一个元素c称为是 极大元,若不存在该集中的元素a,使得c<a.有限偏序集总存在极大元,无限 集有可能没有极大元,如例1中的实数集就没有极大元 若S是一个偏序集,A是S的子集,若存在c∈S,且对A中任意元a均有 a≤c,则称c是子集A的一个上界.注意,上界一般不唯 集合论里有一条常用的著名定理,称为Zorn引理.Zorn引理与选择公理是 等价的.Zorn引理在应用上特别方便,为此我们叙述如下 引理6-1(Zorm引理)设S是一个偏序集,若S中的每根链都有上界,则S 有极大元 Zorn引理的证明要用到选择公理,我们这里不再给出其证明.从Zorn引理 也可推出选择公理,因此我们可以把它作为一条公理接受下来我们可以这样来 想象”它的正确性(注意,这不是证明!).取S的任一链,其上界记为a1若a1 已是极大元,则引理正确,若a1不是极大元,则必有b1,使a1<b1;若b不是极 大元,则又可找到b2,使a1<b<b2;如此下去又可得到S的一根链,其上界 记为a2;若a2是极大元就不必再找了,若不是又可重复下去.这样不断地做下 去,总可找到极大元,因为任一链均有上界 习 1.设{A}∈是集合S的一族子集,证明下列公式: s-.A.=Q(s-A)