第一章预备知识 我们从中学就开始学习代数学这门课程,初等代数以数(整数、有理数、实 数、复数等)及其运算作为基本的研究对象数集上的运算有加、减、乘、除等.在 高等代数的课程中我们研究了向量、矩阵及其运算现在我们要研究一般集合 及其上的运算.对一般集合上运算的研究可以大大拓广数学研究的领域,为数学 的应用开辟广阔的道路 为了更好地理解抽象代数的内容,有必要先介绍一下集合论的一些基本概 念.我们不打算“严格”地阐述这些数学中最基本的概念(读者可以在公理集合论 的课程中学到它们的严格定义)我们只打算“朴素”地叙述其含义 3L,厂集灣合款司 读者已经学习过集合的概念所谓一个集合,我们把它理解为某一些事物的 总体.比如整数集就是指整数全体;有理数集是指有理数全体等等.集合常常 用英文大写字母来表示,如A,B,C等.一个集合中的某个具体的事物,称为 元素.元素常用小写英文字母表示,如a,b,c等我们用∈表示属于,a∈A表 示a是集合A中的元素.若a不是集合A中的元素,我们用a∈A来表示,不 含有任何元素的集合称为空集,用必表示,一个集合如果只含有有限个元素,则 称之为有限集反之则称为无限集集合A中一部分元素组成的集合称为A的 子集.若B是A的子集我们用符号BA来表示两个集合如果含有相同的元 素则称为相等,换句话说,若AsB,又BA,则A=B.若A,B不相等,则 用A≠B表示,为了清楚地表示一个集合,我们还经常采用下列表示方法 A={a∈S丨P(a)}, 这里表示A中的元素来自S且具有性质P举例来说集合A={a∈Z|a>1} 表示大于1的自然数,其中Z表示整数集又若记D是平面上点的集合且D中 元素用通常的实数偶(x,y)来表示(即D是 Descartes平面上点的集合),集合 s={(x,y)∈D|x2+y2=1}就表示该平面上的单位圆. 为了方便起见,我们在本书中采用下列固定的记号来表示一些常用的数集:
2抽象代数学 Z,表示整数集{0,士1,±2,…}; N,表示自然数集{1,2,3,…}; Q,表示有理数集 R,表示实数集; C,表示复数集 定义1-1设A,B是两个集合,记A∪B为A,B中所有元素组成的集 合,即 AUB={x|x∈A或x∈B} 称A∪B为集合A与B的并 例1若A={a,b,c},B={b,c,d,e,则AUB={a,b,c,d,e 定义1-2设A,B是两个集合,记A∩B为既属于集合A又属于集合B 的元素组成的集合,即 A∩B={x|x∈A又x∈B}, 称A∩B为集合A与B的交 例2记A,B为例1中的两个集合,则A∩B={b,c}. 若两个集合A,B无公共元素,即A∩B=,则称A与B不相交 定义1-3设B是A的子集,记A-B={a∈A|a∈B,即A-B是由 A中不属于B的元素构成的集合,称A-B为B在A中的余集或补集.A-B 有时也记为A\B 并、交、补都是集合之间最常用的运算,它们有下列性质 命题1-1设A,B,C都是集合,则有下列性质 (1)若AcB,则AUB=B,A∩B=A,特别,AUA=A,A∩A=A; (2)A∪B=B∪A,A∩B=B∩A; (3)(A∪B)UC=AU(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C); (4)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(AUC), A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); (5)若A,B是C的子集,则 C-(C-A)=A, C-(A∩B)=(C-A)∪(C-B) C-(A∪B)=(C-A)∩(C-B) 证明我们只证(5)中的第二个式子,其余的式子请读者自己证明.现设元
第一章预备知识3 素x∈C-(A∩B),这时若x∈C-A,则x∈C-(C-A)=A,但由假定 x∈A∩B,故x∈B,也就是说x∈C-B,从而C-(A∩B)≤(C-A)∪ (C一B). 反之,若x∈(C-A)∪(C一B),不妨设x∈C-A,显然C-AcC (A∩B),故x∈C-(A∩B),于是(C-A)∪(C-B)C-(A∩B).这 就证明了 C-(A∩B)=(C-A)∪(C一B).证毕 注性质(2)称为交换律,性质(3)称为结合律,性质(4)称为分配律,性质 (5)中的式子通常称为 Morgan公式.由于结合律成立,(A∪B)∪C及 (A∩B)∩C分别记为A∪B∪C及A∩B∩C,即括号可以被省略掉 并与交的概念可以推广到任意个集合上.为此,我们先引进所谓的“指标集 的概念.设有集合Ⅰ及一族集合F={A,AB,…}.对每个a∈I,均可在F中找 到唯一的一个集合A。与之对应,反之F中任一集合也可在Ⅰ中找到唯一的 个元素与之对应粗略地说,F中的集合可以用Ⅰ来标记.这样的集合Ⅰ被称为 是集族F的指标集举例来说,设数学系二年级有4个班,称为甲班、乙班、丙 班、丁班,若设F={甲班、乙班、丙班、丁班},则集合I={甲、乙、丙、丁}就是F 的指标集.指标集I可以是无穷集比如若I=N(自然数集),F={A;}ir,则 表示F={A1,A2,A3,…} 现令∪A。表示所有A(a∈D)的元素组成的集合,即 UA。={x|x属于某个A。}, 称UA。为{A2,a∈I}的并.类似地令∩A.表示所有A(a∈1)中公共元素组 成的集合,即 ∩A。={x|x属于每个A}, 称∩A。为{A,a∈I}的交 。12 Cartesian积3 定义2-1设A,B是集合,有序偶(a,b)(其中a∈A,b∈B)全体组成的 集合称为A与B的 Cartesian积(简称为A与B的积),记为A×B,即
4抽象代数学 A×B={(a,b)|a∈A,b∈B 注意A×B中两个元素(a,b)=(c,d)的充要条件是a=c且b=d. 例1A b,c},S={u,v,则A×S={(a,u) (b,U),(c,u),(c,v)} 例2若A=B=R,即实数集,则A×B=R×R={(x,y)|x,y∈R}, 就是 平面 积集合的概念也可以推广到n个甚至无穷多个集合设A1,A2,…,An是 个集,令 A1×A2×…×An={(a1,a2,…,an)|a;∈A 即n元有序序列全体的集合(第i个元取自A),就称为A1,…,A的 Cartesian积 对一族集{Aa,a∈I},也可以定义所有A的 Cartesian积.令A是这样 个集,它是集合I上这样的函数a的全体:对每个a∈I,a(a)∈A,则A称为 1A。}的 Cartesian积,记为XAa这个定义适合于一般的指标集I,无论Ⅰ为有 限或无限比如A1,…,An的 Cartesian积,这时I=1,2,…,n},对i∈I, a(i)=a;∈A,这样得到的A与上面定义的A1×…×A,完全一致 利用积集合,我们不仅可以从已知集合构造出新的集合来,还可以定义在数 学中起着极其重要作用的等价关系、映射等基本概念 器菜§1.3等价关系与商集 定义3-1设A,B是集合,积集合A×B的一个子集R就称为A到B的 一个关系,特别A×A的子集称为A上的一个关系 若(a,b)∈RCA×B,则称a与b为R相关,记为aR 定义3-2设R是A上的一个关系,若R适合下列条件: (1)自反性,若a∈A,则(a,a)∈R (2)对称性,若(a,b)∈R,则(b,a)∈R (3)传递性,若(a,b)∈R,(b,c)∈R,则(a,c)∈R; 则关系R称为A上的等价关系. 等价关系常用~表示,即a~b表示(a,b)∈R 例1设S是任意一个集合,S×S中所有形为(a,a)的元素全体构成的集 合R是一个等价关系,称为S上的恒等关系,这时a~b当且仅当a=b 例2设Z是全体整数集,定义a~b当且仅当a一b为偶数,即R (a,b)∈Z×Z|a-b为偶数},不难验证这也是一个等价关系
第一章预备知识5 例3设D是 Descartes平面,定义D中两点a~b当且仅当a与b到原点 的距离相等,则~也是一个等价关系 例4设S是平面上的一个圆,定义S上两点a~b当且仅当这两点同在 根直径上,则~也是一个等价关系 例5设Z是整数集,n是固定的自然数.定义整数a~b当且仅当a-b可 以被n整除,则~也是Z上的一个等价关系,当n=2时就是例2. 现设~是集合A中的一个等价关系,a是A的一个元素,与a等价的元素 全体组成A的一个子集,称为a的一个等价类,我们用[a]表示a的等价类例1 中a的等价类只含有一个元素例2中a的等价类为形如a+2k(k∈Z)的元素 全体,这时Z只含有两个等价类:奇数与偶数.例3中a的等价类为以原点为圆 心过a点的圆例4中每个等价类都含有两个元素.例5中的Z一共有n个等价 类:[0],[1],…,[n-1] 我们注意到,一个集合中由两个元素所在的等价类如不重合,则必不相交 即若[a]≠[b],则[a]∩[b=.因为如存在c∈[a]∩[b,则a~c,c~b. 但由传递性知a~b,于是[a]=[b],引出矛盾.由此我们看出如果一个集合上 定义了一个等价关系,则这个集合可以被划分成互不相交的等价类(子集)之并 一个集合如果能表示为两两互不相交的子集之并,则称这些子集族为该集合的 个分划.上面的分析表明集合上一个等价关系决定了该集合的一个分划 反过来,如果{A;}∈r是集合A的一个分划,即 A;∩A,=(i≠j),A=UA;, 在A上定义关系R如下: R={(a,b)∈A×A|a,b属于同一个A;} 则容易验证R是A上的一个等价关系.因此,给定A的一个分划,可以得到A 上的一个等价关系事实上我们有如下的命题 命题3-1设R是集合A上的一个等价关系,则R决定了A的一个分划 P,且由P导出的等价关系就是R反之给定A的一个分划P,则可得到A上的 个等价关系R,且由这个等价关系R决定的A的分划就是P 证明设R是A的等价关系,P是由上述方法得到的分划,又记R是由P 决定的A的等价关系,若(a,b)∈R,则a,b同属于P的某个元素(等价类), 于是(a,b)∈R,故RcR.反过来若(a,b)∈R,则a,b同属于P中某个 等价类,从而(a,b)∈R,即R'≤R,由此即得R=R 另一方面设P=A}是A的一个分划,它决定的A的等价关系记为R.再