65.试按给定的路径计算下列积分： (D店，①沿路径C:=1的上半圆周，（沿路径C,:=1的下半圆周： (2)∫2Rez止，(i)C:直线段0,2]和[2,2+组成的折线，(i)C2:直线段：=(2+)1， 0sts1。 告-答-do=, @华==o= (2)(DRet=x+f2=2+2, (i)∫Rezt=2d(2+i)1=2(2+)1d=2+i. “w告奇o生4 )令：=e,生=de-id0=2i: af-ae-r-0: en▣-e-eao=ef-0: w-o=2 67.考虑两简单闭合曲线C,C2,彼此相交于A,B两点。设C与C所包围的内部区域 分别是G,与G,其公共区域为g。若∫（日）在曲线C,C,上解析，且在区域G,-g及 G,-g内解析，试证明：∮f(日)止=重f()正
65．试按给定的路径计算下列积分： （1） 1 1 dz z ∫− ，（i）沿路径C1 ： z =1的上半圆周，（ii）沿路径C2 ： z =1的下半圆周； （2） 2 0 Re i zdz + ∫ ，（i）C1 ：直线段[0，2]和[2，2+i]组成的折线，（ii）C2 ：直线段 z it = + ( ) 2 ， 0 1 ≤ ≤t 。 （1）（i） 1 0 0 i i C dz de id i z e ϕ ϕ π π = = =− ϕ π ∫∫ ∫ ， （ii） 2 0 0 i i C dz de id i z e ϕ ϕ π π ϕ π − − = == ∫∫ ∫ ； （2）（i） 1 2 1 0 0 Re 2 2 2 C zdz xdx i dy i = + =+ ∫ ∫∫ ， （ii） () () 2 1 1 0 0 Re 2 2 2 2 2 C zdz td i t i tdt i = + = + =+ ∫∫ ∫ 。 66．计算：（1） z 1 dz z ∫ = ； （2） z 1 dz z ∫ = ； （3） z 1 dz z ∫ = ； （4） z 1 dz z ∫ = 。 （1）令 i z e ϕ = ， 2 2 10 0 2 i i z dz de id i z e ϕ π π ϕ ϕ π = = == ∫∫ ∫ ； （2） 2 2 1 0 0 0 i i z dz de e z π π ϕ ϕ = = == ∫ ∫ ； （3） 2 2 2 10 0 0 0 i i i i z dz ie d e d ie z e ϕ π π π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − = = = == ∫∫ ∫ ； （4） 2 1 0 2 z dz d z π ϕ π = = = ∫ ∫ 。 67．考虑两简单闭合曲线C1 ，C2 ，彼此相交于 A，B 两点。设C1 与C2 所包围的内部区域 分别是 G1 与 G2 ，其公共区域为 g 。若 f (z) 在曲线 C1 ， C2 上解析，且在区域G g 1 − 及 G g 2 − 内解析，试证明： ( ) ( ) C C 1 2 f z dz f z dz = v v ∫ ∫
G rg】 如图，「，~「，表示四条边界线，C是「，的负向加上「，的正向，C是「，的负向加上「，的 正向。 ∮fe)t-∮。f)t=∫t+∫t+「t-∫t 『,的负向加上「，的正向就是G-g的边界，所以-∫化+化=0。 同样的，厂f征-∫f=0,所以有∮。f(e)d正=∮。f(e)d止。 68.对于任一解析函数的实部或虚部，Cauchy定理仍成立吗？如果成立，试证明之，如果 不成立，试说明理由，并举一例。 不成立。取f(e)=,则实部u(x,y)=x。取如下积分路径： y ∮ut-∫xdk+ifd+∫xdk=i. 69.证明：重.生-4，其中积分路径C为闭合曲线p=2-sm号，这个结果和围绕原 点一圈∮生=2的结论有矛盾吗？为什么？
如图，Γ Γ 1 4 ∼ 表示四条边界线，C1 是Γ1 的负向加上Γ3 的正向，C2 是Γ2 的负向加上Γ4 的 正向。 ( ) ( ) C C 1 2 1324 f z dz f z dz fdz fdz fdz fdz ΓΓΓΓ − =− + + − v v ∫ ∫ ∫∫∫∫ Γ1 的负向加上Γ2 的正向就是G g 1 − 的边界，所以 1 2 fdz fdz 0 Γ Γ − + = ∫ ∫ ， 同样的， 3 4 fdz fdz 0 Γ Γ − = ∫ ∫ ，所以有 ( ) () C C 1 2 f z dz f z dz = v∫ ∫v 。 68．对于任一解析函数的实部或虚部，Cauchy 定理仍成立吗？如果成立，试证明之，如果 不成立，试说明理由，并举一例。 不成立。取 f ( )z z = ，则实部u xy x ( ) , = 。取如下积分路径： 1 10 0 01 udz xdx i dy xdx i = ++ = v∫ ∫ ∫∫ 。 69．证明： 4 C dz i z = π v∫ ，其中积分路径C 为闭合曲线 2 2 sin 4 ϕ ρ = − 。这个结果和围绕原 点一圈 2 dz i z = π v∫ 的结论有矛盾吗？为什么？
0 24n、 m 特r -do （2-sim9}e 2-sin 上式右边第二项被积函数以4π为周期，所以积分限可换为-2π一2π，被积函数又是奇函 数，故积分为0，所以更。生=4。由上图可看出、C绕原点两圈。并不与围绕原点一圈 手华-2m的结论不后， 2-2-15=+30 0计算202+522 欧的 =4i (e-4)}262 .计重女.C分别：①子m非-.m-3: 四克，c分0卡-4=1.国H-2.m)卡+非-小25. (1)()积分路径不包围任何奇点，故积分值为0
2 2 4 4 0 0 2 2 1 2 sin sin 2 sin 4 42 4 2 sin 2 sin 4 4 i i i C i i d e ei e dz d z e e ϕ ϕ ϕ π π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ − − +− ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝⎠ ⎝ ⎠ = = ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ − − ⎝⎠ ⎝⎠ v∫∫ ∫ 4 4 0 0 sin 1 2 2 3 cos 2 id d π π ϕ ϕ ϕ ϕ = − + ∫ ∫ 上式右边第二项被积函数以 4π 为周期，所以积分限可换为 −2 2 π ∼ π ，被积函数又是奇函 数，故积分为 0，所以 4 C dz i z = π v∫ 。由上图可看出，C 绕原点两圈，并不与围绕原点一圈 2 dz i z = π v∫ 的结论矛盾。 70．计算 2 3 2 3 2 15 30 z 10 32 32 z z dz zz z = − + − +− v∫ 。 原式 ( )( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 15 30 2 15 30 2 4 24 4 z z zz zz dz i i zz z π π = = −+ −+ = =⋅ = −− − v∫ 71．计算：（1） 2 sin 4 C 1 z dz z π − v∫ ，C 分别为：（i） 1 2 z = ，（ii） z −1 1 = ，（iii） z = 3 ； （2） 2 1 iz C e dz z + v∫ ，C 分别为：（i） z i − =1，（ii） z = 2，（iii） zi zi ++ −= 2 2 。 （1）（i）积分路径不包围任何奇点，故积分值为 0
sn,sn (国积分路径包围奇点：=1，重子止=21 2+1 ()积分路径包围奇点：=±1，C,C,为单独包围：=士1的闭路径， 北=项 sin 4止+。 =2 (i)同(i)。 n:0东gt:e东：o9号女：w4 6东亭o乐m东之gw克g d o系gto东e西 0东g在=2iaow-2a 2东里t=2am儿=2a o9e=2-L=2m w42a乱小o. (5)$生=0： 62+y2-i丽nm+2*w脉) =0
（ii）积分路径包围奇点 z =1， 2 1 sin sin 4 4 2 1 1 2 C z z z dz i i z z π π π π = =⋅ = − + v∫ ， （iii）积分路径包围奇点 z = ±1， 1 2 C C, 为单独包围 z = ±1的闭路径， 1 2 22 2 1 1 sin sin sin sin sin 4 4 4 44 2 2 CC C 1 1 1 11 z z z z z zz dz dz dz i i z z z zz π π π ππ π π = =− ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = + = += − − − +− ⎝ ⎠ vv v ∫∫ ∫ 。 （2）（i） 2 2 1 iz iz C z i e e dz i z zi e π π = =⋅ = + + v∫ ， （ii） 2 2 2 sh1 1 iz iz iz C zi z i e ee dz i z zi zi π π = =− ⎛ ⎞ = + =− ⎜ ⎟ + +− ⎝ ⎠ v∫ ， （iii）同（ii）。 72．计算：（1） 2 cos z z dz z v∫ = ；（2） 2 2 sin z z dz z v∫ = ；（3） 2 z 2 1 z dz z = − v∫ ；（4） 2 2 2 1 z 1 z dz z = − + v∫ ； （5） 2 z 2 dz z v∫ = ；（6） 2 z 2 1 dz z z = + + v∫ ；（7） 2 z 2 8 dz z = − v∫ ；（8） 2 z 2 2 3 dz z z = − + v∫ ； （9） 2 2 z z z e dz z v∫ = ；（10） ( ) 2 2 2 16 z dz z z = + v∫ 。 （1） 0 2 cos 2 cos 2 z z z dz i z i z π π = = =⋅ = v∫ ； （2） ( ) 2 2 0 sin 2 sin 2 z z z dz i z i z π π = = ′ = = v∫ ； （3） 2 2 2 1 2 2 1 z z z dz i z i z π π = = =⋅ = − v∫ ； （4） 2 22 2 2 1 11 2 0 z 1 zi z i z zz dz i z zi zi π = = =− − −− ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ + = + +− ⎝ ⎠ v∫ ； （5） 2 2 0 z dz z = = v∫ ； （6） 2 2 12 3 2 12 3 2 1 1 2 0 1 12 3 2 12 3 2 z zi zi dz i z z zi zi π = =− − =− + ⎛ ⎞ = += ⎜ ⎟ + + +− ++ ⎝ ⎠ v∫ ；
d 7),二8=0：（不包图奇点） 1 9-4使-a(儿 ow系产雨2(i6o. 及.)计算车女：2)对于什么样的a值函数F()=✉化}是单值的？ w东女-e儿=a 「0，C不包围原点 a)重e(仁习}山-2，C电到原有当u-2时对任意的阳线不对 原点)该积分都是0，则F()为单值函数。 在.正明在搭去：=0点的全平面上不有在一个解折函数小.使实满足了日)-日 这个结论和n:=矛循码吗？ 因为：=0点是上的奇点，上在绕原点路径上的积分不为0，所以无法定义变上限函数 血，即找不到在除去：=0点的全平面上解析的原函数。血：在划定制线，在单值分枝 内才有是n:=上他是在分制的平面上度立，商不是全平面。 75.设G是单连通区域，C是它的边界，二，是G内的n个不同的点。 n阳ese6小刊owQ0小r得产2-g
（7） 2 2 0 z 8 dz z = = − v∫ ；（不包围奇点） （8） 2 2 12 12 1 1 2 0 2 3 12 12 z zi zi dz i z z zi zi π = =− =+ ⎛ ⎞ = += ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ −− −+ v∫ ； （9） 2 2 ( ) 2 2 0 2 4 z z z z z z z e dz e dz i e z z π = = = ′ = = v v ∫ ∫ ； （10） ( ) 2 2 2 2 0 1 2 0 z 16 16 z dz i z z z π = = ′ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ + v∫ 。 73．（1）计算 3 1 z z e dz z v∫ = ；（2）对于什么样的 a 值，函数 ( ) 0 3 z t 1 z a F z e dt t t ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 是单值的？ （1） 3 ( ) 1 0 2 2! z z z z e i dz e i z π π = = ′′ = = v∫ ； （2） ( ) 3 1 0, 2 t C a C e dt t t a iC π ⎛ ⎞ ⎧ ⎜ ⎟ + = ⎨ ⎝ ⎠ + ⎩ v∫ 不包围原点 ， 包围原点。当 a = −2 时，对任意的闭曲线（不过 原点）该积分都是 0，则 F ( )z 为单值函数。 74．证明：在挖去 z = 0点的全平面上不存在一个解析函数 f (z) ，使其满足 ( ) 1 f z z ′ = 。 这个结论和 1 ln d z dz z = 矛盾吗？ 因为 z = 0 点是 1 z 的奇点， 1 z 在绕原点路径上的积分不为 0，所以无法定义变上限函数 0 z 1 z dt t ∫ ，即找不到在除去 z = 0点的全平面上解析的原函数。ln z 在划定割线，在单值分枝 内才有 1 ln d z dz z = ，他是在分割的平面上成立，而不是全平面。 75．设 G 是单连通区域， C 是它的边界， 1 2 , n zz z " 是 G 内的 n 个不同的点。 ( ) ( )( ) ( ) Pz z z z z z z =− − − 1 2 " n ，f ( )z 在G 中解析，证明： ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 C f P Pz Qz d iP z ζ ζ ζ π ζζ − = − v∫