是一个n-1次多项式，且Q(:)=(:),k=l,2,n。如果G是复连通区域，上述结 果还正确吗？ 正：：时，e)=∑(5-)日P厂日 e5- -) Πs-) 2- 即它是n-1次多项式。 味Qe小s-fe小 若G是复连通区域，上面的计算不成立。 76.设f(:)在≤R的区域内解析，且5=pe”(0≤p<R)为圆内一点，证明圆内的 Poison公式：f6)=R-p产_fRe） 2R2Rpcos(0)+pdo 里0-A得贰2云20 R[R-pee -云[R-RR-可w)O 2re0orw (1) 令-代e,它在国外，所以有-号 但止=0（数但在国内解折. -5 -g-2e (2) w-a聘0-二-80 f(Re"）
是一个 n −1次多项式，且Qz f z ( ) k k = ( ) ， k n =1,2, , " 。如果G 是复连通区域，上述结 果还正确吗？ 证： k z z ≠ 时， () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 i n i i z f P Pz Qz z P z ζ ζ ζ ζ = ζ ζ = ⎡ ⎤ − = − ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ ∑ ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 i n j n i i j n i i j j z z z fz z z z z ζ ζ ζ = = = = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − − = ⋅ − − ⎣ ⎦ ∏ ∑ ∏ ( ) ( ) ( ) 1 n i j i j i i j j i f z z z = z z ≠ ≠ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∏ ∏ 即它是 n −1次多项式。 k z z = 时， ( ) ( ) ( ) 1 2 k k C k f Qz d f z i z ζ ζ π ζ = = − v∫ 。 若G 是复连通区域，上面的计算不成立。 76．设 f ( )z 在 z R ≤ 的区域内解析，且 i e ϕ ζ = ρ （0 ≤ ρ < R ）为圆内一点，证明圆内的 Poisson 公式： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 cos 0 i R f Re f d R R θ ρ π ζ θ π ρ θϕ ρ − = − −+ ∫ 。 证： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 11 1 22 2 i i i i i i z R f z f Re Rf Re f dz dRe d i z i Re e R e θ θ π π θ θ ϕ ϕ θ ζ θ π ζπ ρ π ρ − = == = − − − v∫∫ ∫ ( ) () () ( ) 2 0 1 2 i i i i RR e f Re d Re Re ϕ θ π θ ϕθ ϕθ ρ θ π ρ ρ − − − −− ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤⎡ ⎤ − − ⎣ ⎦⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 2 2 cos i R Re i f Re d R R ϕ θ π ρ θ θ π ρ θϕ ρ − − − = − −+ ∫ （1） 令 2 R i e ϕ ζ ρ ′ = ，它在圆外，所以有 1 ( ) 0 2 z R f z dz π ζ i z = = − ′ v∫ （函数 f (z) z −ζ ′ 在圆内解析）。 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 0 2 2 cos i i z R f z R e dz f Re d z RR ϕ θ π ρ ρ θ θ ζ π ρ θϕ ρ − − = − = = − − −+ ′ v∫ ∫ （2） （1）−（2）即得 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 cos 0 i R f Re f d R R θ ρ π ζ θ π ρ θϕ ρ − = − −+ ∫
7n.若∫()在区域G内单值连续，且沿G内任一闭合路径C均有重(e)止=0，试证 f(:)在区域G内解析（这是Cauchy定理的逆定理，即Morera定理）. 因为f()沿G内任一闭合路径积分都是0，则∫广∫()山与积分路径无关，它定义了一个 单值函数F(e)=f(d。 e+O-eV0-e西o-e4 由于f(曰)在：点连续，对于任意e>0,存在6>0，使当-<6时，f()-f(e<6, 所以只要A<6,对于1∈[，+△]，有-s△<6， PE-FO-e水女e.uF=.F9新 而解析函数的导数仍解析，即∫（日）在区域G内解析。 ,考虑西数了日)-子·()它对于所有不通过原点的闭合围道C都有积分 更。f(e)d=0,但f(曰)在：=0点不解析.。这个情况和Morera定理（上题）矛后吗？ (2)当：→o时，此函数有界，但并不是一个常数。这和Liouville定理矛盾吗？ (1)对于过原点路径上的积分，由于∫(O)→o,积分→o,并不满足Morera定理条件： (2)Liouville定理要求全平面解析。 9.设G为单连通区域，其边界为简单闭合曲线C。若函数∫（日）在G=G+C中解析， 且在C上，f(e)=0。证明：在区域G内恒有f()=0。 由8a积4g亚 0,计算生，积分路径C为：①没有线的：平面上，由到的各种可能路径： (2)沿负实轴割开的z平面上，由-1到i的各种可能路径
77．若 f ( )z 在区域G 内单值连续，且沿G 内任一闭合路径C 均有 ( ) 0 C f z dz = v∫ ，试证 f ( )z 在区域G 内解析（这是 Cauchy 定理的逆定理，即 Morera 定理）。 因为 f ( )z 沿G 内任一闭合路径积分都是 0，则 ( ) 0 z z f t dt ∫ 与积分路径无关，它定义了一个 单值函数 ( ) () 0 z z F z f t dt = ∫ 。 ( ) () ( ) () ( ) () ( ) 1 1 zz zz z z Fz z Fz f z f t f z dt f t f z dt zz z +∆ − +∆ +∆ −= − ≤ − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∆∆ ∆ ∫ ∫ 由于 f ( )z 在 z 点连续，对于任意ε > 0 ，存在δ > 0 ，使当 t z − < δ 时， ft fz () ( ) − < ε ， 所以只要 ∆ < z δ ，对于t zz z ∈ +∆ [ , ] ，有 tz z − ≤∆ < δ ， ( ) () ( ) Fz z Fz 1 fz z z z ε ε +∆ − − < ⋅ ⋅∆ = ∆ ∆ 。所以 F′(z fz ) = ( ) ， F ( )z 为解析函数， 而解析函数的导函数仍解析，即 f (z) 在区域G 内解析。 78 ．考虑函数 ( ) 2 1 f z z = 。（ 1 ）它对于所有不通过原点的闭合围道 C 都有积分 ( ) 0 C f z dz = v∫ ，但 f ( )z 在 z = 0点不解析。这个情况和 Morera 定理（上题）矛盾吗？ （2）当 z → ∞ 时，此函数有界，但并不是一个常数。这和 Liouville 定理矛盾吗？ （1）对于过原点路径上的积分，由于 f (0) → ∞ ，积分→ ∞ ，并不满足 Morera 定理条件； （2）Liouville 定理要求全平面解析。 79．设G 为单连通区域，其边界为简单闭合曲线C 。若函数 f (z) 在GGC = + 中解析， 且在C 上， f z( ) = 0。证明：在区域G 内恒有 f z( ) = 0。 由 Cauchy 积分公式 ( ) 1 ( ) 2 C f f z d i z ζ ζ π ζ = − v∫ 可证。 80．计算 C dz z ∫ ，积分路径C 为：（1）没有割线的 z 平面上，由 −i 到i 的各种可能路径； （2）沿负实轴割开的 z 平面上，由 −i 到i 的各种可能路径
(1)可计算出沿右半圆从-到i的积分值为i,沿左半圆从-1到i的积分值为一π。 木罗 8 如上图(a),对于右半平面从-i到i的任意路径C。,与i到-i的右半圆构成闭合路径，该 用路径积分值为0所以，=生=. 如上图(b),C,为从-i逆时针绕原点一图后从右半平面到达i的曲线，记C上的积分为1，： L,为右半平面从到-的曲线，上的积分即为-1。C与构成的闭曲线绕原点一圈， 所以C,与L上的积分之和为2i,即1，-1。=2πi,所以1=3i。 如上图(c),C,为从-逆时针绕原点两圈后从右半平面到达i的曲线，记C2上的积分为2 L为从-1逆时针绕原点一圈后从右半平面到达i的反向曲线，L上的积分即为-山，。C,与 L构成的闭曲线绕原点一圈，所以12-1=2πi,即12=51。 依此类推，从-i逆时针绕原点n圈后从右半平面到达i的曲线上的积分为In=(2n+1)πi, n=0,1,2,.。 同样可得，对于从-顺时针绕原点n圈后从左半平面到达1的曲线上的积分为 I=-(2n+l）i,n=0l,2,. (2)只能由右半平面直接从-i到i的路径积分，积分值为。 2i,n=1 81.证明：E-{0,n1 d ,其中C为包围a点的任一简单闭合围道，n为整数
（1）可计算出沿右半圆从 −i 到i 的积分值为πi ，沿左半圆从 −i 到i 的积分值为 −πi 。 如上图（a），对于右半平面从 −i 到i 的任意路径C0 ，与i 到 −i 的右半圆构成闭合路径，该 闭路径积分值为 0，所以 0 0 C dz I i z = = π ∫ 。 如上图（b），C1 为从 −i 逆时针绕原点一圈后从右半平面到达i 的曲线，记C1 上的积分为 1I 。 L0 为右半平面从i 到 −i 的曲线， L0 上的积分即为 0 −I 。C1 与 L0 构成的闭曲线绕原点一圈， 所以C1 与 L0 上的积分之和为 2πi ，即 1 0 I − I i = 2π ，所以 1I = 3πi 。 如上图（c），C2 为从 −i 逆时针绕原点两圈后从右半平面到达i 的曲线，记C2 上的积分为 2 I 。 L1 为从 −i 逆时针绕原点一圈后从右半平面到达i 的反向曲线， L1 上的积分即为 1 −I 。C2 与 L1 构成的闭曲线绕原点一圈，所以 2 1 I − I i = 2π ，即 2 I = 5πi 。 依此类推，从 −i 逆时针绕原点 n 圈后从右半平面到达i 的曲线上的积分为 ( ) 2 1 n I = +n i π ， n = 0,1,2,"。 同样可得，对于从 −i 顺时针绕原点 n 圈后从左半平面到达 i 的曲线上的积分为 ( ) 2 1 n I′ =− +n i π ， n = 0,1,2,"。 （2）只能由右半平面直接从 −i 到i 的路径积分，积分值为πi 。 81．证明： ( ) 2, 1 0, 1 n C dz i n z a n ⎧ π = = ⎨ − ⎩ ≠ v∫ ，其中C 为包围 a 点的任一简单闭合围道，n 为整数
五人+石高一化.efm、 当a1时，广edo=0.+e-0. 当n=l时+e-rfdo-2 对于包用a点的任一简单闭合闺道C，,存在6，使上-=6在C包用的区域内，则 高小6高版 2计算左、规定：=时F1,沿路径：D年位国的上半周从1到1：②)单位 圆的下半周从1到1。 1时，g=0.:=-1时，g=,先=2=2F-=2-1+小 2-时照=，告=2耳=26-小-2+小 83.设f()在区域G内解析，C为G内任一简单闭曲线，证明对于G内，但不在C上的 阳56码女。 -2 由Q山积分公式，重气侣45-2日.由部新商题酒的号收参式。 车码2w日 从段小提变数强-e-小
证：设ε 为任意小的正数。 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 0 0 i n i n n n in z a dz da e i ed z a e ϕ π π ϕ ϕ ε ε ε ϕ ε − − − = + = = − ∫∫ ∫ ， 当 n ≠ 1时， ( ) 2 1 0 0 i n e d π ϕ ϕ − = ∫ ，即 ( ) 0 n z a dz z a − =ε = − ∫ ， 当 n =1时， ( ) 2 0 2 n z a dz id i z a π ε ϕ π − = = = − ∫ ∫ 。 对于包围 a 点的任一简单闭合围道C ，存在ε ，使 z a − = ε 在C 包围的区域内，则 ( ) ( ) n n C za dz dz za za − =ε = − − v v ∫ ∫ ，得证。 82．计算 C dz z ∫ 。规定 z =1时 z =1，沿路径：（1）单位圆的上半周从 1 到-1；（2）单位 圆的下半周从 1 到-1。 z =1时，arg 0 z = 。（1）z = −1时，arg z = π ， ( ) ( ) 1 1 2 2 1 21 i C dz ze i z π − = = − = −+ ∫ ； （2） z = −1时，arg z = −π ， ( ) ( ) 1 1 2 2 1 21 i C dz ze i z π − − = = − =− + ∫ 。 83．设 f ( )z 在区域G 内解析，C 为G 内任一简单闭曲线，证明对于G 内，但不在C 上的 任一点 z ， ( ) ( ) ( )2 C C f f d d z z ζ ζ ζ ζ ζ ζ ′ = − − v v ∫ ∫ 。 由 Cauchy 积分公式， ( ) 2 ( ) C f d if z z ζ ζ π ζ ′ = ′ − v∫ 。由解析函数高阶导数公式， ( ) ( ) ( ) 2 2 C f d if z z ζ ζ π ζ = ′ − v∫ ，得证。 84．设 ( ) 2 1 , 1 2 t x xt t Ψ = − + ，t 是复变数。试证： ( ) ( ) 2 0 , 1 1 2 n n n n nn t t x d x t dx = ∂ Ψ = − ∂
t-2u-x刘 平面 u平面 -ix+-可 上式中C是绕原点的围线，且不包围平（化，x)的两个奇点x±V-1。 作变换-2+F=1-M,即1=2-，则C映射为绕x的C,(方向不变， 2-1 上面的积分化为： ·品等 安仁儿 5.段Ψ=6即-小是复变数，证，到=旷ee, 证：同上题。C是1平面上逆时针绕原点的围线，通过变换1=x一“映射为“平面上逆时针 绕x的围线C2。 ae血=erec e 86.f(e)在a点的邻域内解析，当8≤arg(e-a)≤0，z→a时，(e-a)f(e)一致地
证： 根据高阶微商公式， ( ) ( ) 1 1 1 1 2 0 , , ! !1 2 2 1 2 n n n C C n t tx tx n n dt dt t it i π π t xt t + + = ∂Ψ Ψ = = ∂ − + v v ∫ ∫ 。 上式中C1 是绕原点的围线，且不包围 Ψ(t x, ) 的两个奇点 2 x x ± −1 。 作变换 2 12 1 − + =− xt t ut ，即 ( ) 2 2 1 u x t u − = − ，则C1 映射为绕 x 的C2 （方向不变）， 上面的积分化为： ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 ! 1 ! 1 242 1 2 2 21 1 2 2 1 n n C C n n n n u u ux u dt du π π i i u ux t xt t u x u + + + + ⎡ ⎤ − − −+ − = ⎢ ⎥ − + ⎢ − −+ − ⎥ − ⎣ ⎦ v v ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1! 1 1 1 1 1 22 2 2 n n n n n n n n nn n C u x n dd u du u x πi du dx u x + = − =⋅ = − = − − v∫ 。 85．设 ( ) ( ) 2 Ψ= − t x tx t , exp 2 ，t 是复变数，试证： ( ) ( ) 2 2 0 , 1 n n n x x n n t t x d e e t dx − = ∂ Ψ = − ∂ 。 证：同上题。C1 是t 平面上逆时针绕原点的围线，通过变换t xu = − 映射为u 平面上逆时针 绕 x 的围线C2 。 ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 1 0 , ! ! 2 2 n tx t x ux x u n n n C C t t x ne ne dt du t it i π π x u − − −− + + = ∂ Ψ = =− ∂ − v v ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 ! 1 1 2 u n n n x xx n n C ne d e du e e π i dx u x − − + =− =− − v∫ 86． f ( )z 在a 点的邻域内解析，当θ1 2 ≤ arg (z a − ≤) θ ，z a → 时，(z afz − ) () 一致地