55.函数w=:+√E-1,规定w(2)=1,是分别求当：沿着图中的C和C,连续变化时 (-3)之值。 若规定：=2处arg(e-)=2π，则有w(2)=1:沿C连续变化到-3时，arg(-1)=3 所以w-3)=-3+4e宁=-3-21.沿C,有w-3)=-3+21. 56.规定函数w=:-2在下图割线上岸的幅角为0，试求该函数在割线下岸：-3处的 数值，又问，这个函数有几个单值分枝：求出在其他分枝中割线下岸：=3处的函数值。 个y 2等 :-2在制线上岸幅角为0，下岸为2，所以w(Θ)=3宁. 有三个单值分枝.规定制线上岸幅角为2m,则下岸为4红，w(Θ)=30宁 规定割线上岸幅角为4π，则下岸为6π，1r(3)=3。 57.函数w=√(：-)(：-b)的割线有多少种可能的做法？试在两种不同做法下讨论单值 分枝的规定。设a,b为实数，且a≠b。 a,b为枝点，连接a,b的任意线段都可作为割线，所以有无穷种做法 其中两种做法：
55．函数 wz z =+ −1 ，规定 w(2 1 ) = ，是分别求当 z 沿着图中的 C1 和 C2 连续变化时 w( ) −3 之值。 若规定 z = 2 处arg 1 2 (z − =) π ，则有 w(2 1 ) = 。z 沿C1连续变化到-3 时，arg 1 3 ( ) z − = π ， 所以 ( ) 3 2 3 3 4 32 i w ei π − =− + =− − 。沿C2 有 w i (−3 32 ) =− + 。 56．规定函数 3 w zz = − 2 在下图割线上岸的幅角为 0，试求该函数在割线下岸 z = 3 处的 数值，又问，这个函数有几个单值分枝：求出在其他分枝中割线下岸 z = 3 处的函数值。 z − 2 在割线上岸幅角为 0，下岸为 2π ，所以 ( ) 2 3 3 3 i w e π = 。 有三个单值分枝。规定割线上岸幅角为 2π ，则下岸为 4π ， ( ) 4 3 3 3 i w e π = ， 规定割线上岸幅角为 4π ，则下岸为6π ， w(3 3 ) = 。 57．函数 w zazb =− − ( )( ) 的割线有多少种可能的做法？试在两种不同做法下讨论单值 分枝的规定。设 a b, 为实数，且 a b ≠ 。 a b, 为枝点，连接 a b, 的任意线段都可作为割线，所以有无穷种做法。 其中两种做法：
(1) 规定割线上岸arg(e-a)+arg(:-b)=π和3π可得两个单枝分枝。 2) 五 b 可规定正实轴割线上岸arg(:-a+arg(e-b)分别为0,2π 58.规定函数w=V2-2z+2,w(0)=V互。求当：由原点出发沿圆-(1+=V反逆 时针方向通过x轴时的函数值。又当：回到原点时函数之值如何？ 2 w=-22e-22可.只要规定：=0时g-22)=- ag-2e)-买藏有w(0)=反。当：沿圆逆时针到达：=2时， ag-e）=-晋a吗(e-5e）年所以w(2)=2e2e=5。 当：国到原点时，e(-5）=经，g-5e)-,所以
（1） 规定割线上岸arg arg () () za zb − + −= π 和3π 可得两个单枝分枝。 （2） 可规定正实轴割线上岸arg arg ( ) za zb −+ − ( ) 分别为 0，2π 。 58．规定函数 2 wz z = −+ 2 2 ， w(0 2 ) = 。求当 z 由原点出发沿圆 z i −+ = ( ) 1 2 逆 时针方向通过 x 轴时的函数值。又当 z 回到原点时函数之值如何？ ( )( ) 4 4 2 2 i i wzeze π π − =− − 。只要规定 z = 0 时 ( ) 4 3 arg 2 4 i z e π π − =− ， ( ) 4 3 arg 2 4 i z e− π π − = 就 有 w(0 2 ) = 。 当 z 沿圆逆时针到达 z = 2 时 ， ( ) 4 arg 2 4 i z e π π − =− ， ( ) 4 arg 2 4 i z e− π π − = ，所以 ( ) 4 4 22 2 2 i i w ee − π π = ⋅= 。 当 z 回到原点时， ( ) 4 5 arg 2 4 i z e π π − = ， ( ) 4 3 arg 2 4 i z e− π π − = ，所以
w(0)=v2eh.2eh=5e"=-5. 59.函数w=ln(1-2),规定w(O)=0,试讨论当：分别限制在以下两图中变化时，w(3) 之值。 个y (a) ) (a)w=ln[(1-)(e+1)]。规定：=0时arg(1-)=0,arg(:+)=0就有w(0)=0。 :从下半平面到达：=3时有arg(1-)=π，arg(:+1)=0，所以 w(3)=ln(2e.4e）=3ln2+im. (b):从上半平面到达：=3时有arg(1-)=-π，arg(:+)=0,所以 w(3)=In(2e-".4e)=3In2-in. 60.函数=：(1-)'在割线上岸函数值与下岸函数值有何不同？割线如下图。 若割线上岸上一点：由左边（曲线C)绕到割线下岸同一处（记为'），则：的辐角增加2π， 即=2,1-z的辐角不变，即(1-)=1-2。所以 w=0-)=e1-'=wep
( ) 54 34 02 2 2 2 ii i w ee e ππ π = ⋅ = =− 。 59．函数 ( ) 2 w z = − ln 1 ，规定 w( ) 0 0 = ，试讨论当 z 分别限制在以下两图中变化时，w( ) 3 之值。 （a）w zz = −+ ln 1 1 ⎡ ⎤ ( )( ) ⎣ ⎦ 。规定 z = 0时arg 1 0 ( − z) = ，arg 1 0 (z + ) = 就有 w( ) 0 0 = 。 z 从下半平面到达 z = 3 时 有 arg 1( − z) = π ， arg 1 0 (z + ) = ，所以 ( ) ( ) 0 3 ln 2 4 3ln 2 i i w ee i π = ⋅=+ π 。 （ b ） z 从上半平面到达 z = 3 时 有 arg 1( − z) = −π ， arg 1 0 (z + =) ，所以 ( ) ( ) 0 3 ln 2 4 3ln 2 i i w ee i π π − = ⋅=− 。 60．函数 ( )3 4 wzz = −1 在割线上岸函数值与下岸函数值有何不同？割线如下图。 若割线上岸上一点 z 由左边（曲线C1 ）绕到割线下岸同一处（记为 z′），则 z 的辐角增加 2π ， 即 i2 z ze π ′ = ，1− z 的辐角不变，即( ) 1 1 z z ′ − = − 。所以 ( ) ( ) 3 3 4 2 2 4 1 1 i i w z z ze z we ′ π π ′ ′ = − = −=
若：由右边（曲线C2)绕到割线下岸同一处，则：的辐角不变，1-：的辐角减小2π， m=[-e丁=we6p. 61.规定0≤ag:<2π，求w=VE在：=i处的导数值 )-2Ewe）=a-小 62.规定：=0处arctan==π，求在：=2处的导数值。割线做法如图 ntm-h号(amj-acm叽号 虽然导函数∫'()是单值函数，但它是在∫()的单值分枝中定义的，否则极限值 但不定 63.证明：若函数∫()在区域G内解析，其模为一常数，则函数∫()本身也必为一常数。 证：令f(e)=Ae)-Acoso+iAsino,其中p(x,y)为实函数。由于f(e)解析，C-R y 器=0，即p(红列为常藏，所以日为层数
若 z 由右边（曲线C2 ）绕到割线下岸同一处，则 z 的辐角不变，1− z 的辐角减小 2π ， ( ) 3 2 32 4 1 i i w z z e we − − π π ′ =− = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 。 61．规定0 arg 2 ≤ <z π ，求 w z = 在 z i = 处的导数值。 ( ) 1 2 w z z ′ = ， ( ) ( ) 2 4 1 1 1 2 2 2 i i we e i π π − ′ ==− 。 62．规定 z = 0处arctan z = π ，求在 z = 2 处的导数值。割线做法如图。 1 arctan ln 2 i z z i zi − = + ，( ) 2 1 arctan 1 z z ′ = + ，( ) 2 1 arctan z 5 z = ′ = 。 虽然导函数 f ′( )z 是单值函数，但它是在 f (z) 的单值分枝中定义的，否则极限值 () ( ) 0 0 0 limz z f z fz → z z − − 不定。 63．证明：若函数 f (z) 在区域G 内解析，其模为一常数，则函数 f (z) 本身也必为一常数。 证：令 ( ) ( , ) cos sin i xy f z Ae A iA ϕ = =+ ϕ ϕ ，其中ϕ ( x, y) 为实函数。由于 f ( )z 解析，C-R 方程为： A A sin cos x y ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ， A A sin cos y x ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ ∂ = ∂ ∂ 。可由此解出 0 x ∂ϕ = ∂ ， 0 y ∂ϕ = ∂ ，即ϕ ( ) x, y 为常数，所以 f (z) 为常数
64.了日=斗，1<p<2.在实箱上沿0到1微制线，规定沿割战上岸 2z arg:=arg(1-=)=0,试计算f(±i) =fg=号g0-=0-2eY2京 21 :从左边由制线上岸绕到：=，则g:=买，g（-）-=行，了(-)=2分e产。 :从边由国线上岸绕到：，则g号现-小子=2。产
64． ( ) ( ) 1 1 2 p p z z f z z − − = ， −< < 1 2 p 。在实轴上沿 0 到 1 做割线，规定沿割线上岸 arg arg 1 0 z z = −= ( ) ，试计算 f ( ) ±i 。 z i = 时，arg 2 z π = ，arg 1( ) 4 z π − =− ， ( ) ( ) ( ) 1 2 12 4 3 1 2 4 2 2 2 p p i i p e e i p fi e i π π π − − − = = 。 z 从左边由割线上岸绕到 z i = − ，则 3 arg 2 z π = ，arg 1( ) 4 z π − = ， ( ) 5 1 2 4 2 p i p fi e − − π − = 。 z 从右边由割线上岸绕到 z i = − ，则arg 2 z π = − ， ( ) 7 arg 1 4 z π − =− ， ( ) 5 1 2 4 2 p i p fi e − − π − =