(1)sin(5±-2)=sin=cos3.2±cos,sin3: (2)cos(±2)=cos,cos2干sin,sin2: (3)sh==-isin (4)ch==cosiz: (5)cos-:=-iln(+-1 (6)tm (7)ch2:-sh2:=1: (8)1-th2z=sech2:。 Dsin5os+os5sm5,-ee+e）+e3+eles-e)） 4i e-e -=sin(+32) 2i 同样得，sin5cos32-cos:,sinz2=sin(:-z2) (2)cos cos,sinsin)+) )e) 2 c0s(5+2) 同样得，cos,cos52+sin二，sin52=cos(:-2) (3)h-e-e.ge0-e.-9-ee 2 2 2 =-isini (4)ch:=ite -=cosiz 2 2 (5)令：=60sw=+e兰，则e-2e+1=0,解出e=:+VF, 2 所以cosz=w=-iln(2+V2-l o:mv二，产-芒是所以m=v分芒治
（1） ( ) 12 1 2 1 2 sin sin cos cos sin zz z z z z ±= ± ； （2） ( ) 12 1 2 1 2 cos cos cos sin sin zz z z z z ± = ∓ ； （3）sh sin z i iz = − ； （4）ch cos z iz = ； （5） ( ) 1 2 cos ln 1 ziz z − =− + − ； （6） 1 1 1 tan ln 2 1 iz z i iz − + = − ； （7） 2 2 ch sh 1 z − =z ； （8） 2 2 1 th sech − =z z 。 （1） ( )( ) ( )( ) 1 12 2 1 12 2 1 2 12 sin cos cos sin 4 iz iz iz iz iz iz iz iz ee ee ee ee z z zz i −− −− − + ++ − + = ( ) ( ) ( ) 12 12 1 2 sin 2 iz z iz z e e z z i + −+ − = =+ 同样得，sin cos cos sin sin z z z z zz 1 2 1 2 12 − =− ( ) （2） ( )( ) ( )( ) 1 12 2 1 12 2 1 2 12 cos cos sin sin 4 iz iz iz iz iz iz iz iz ee ee ee ee z z zz −− −− + + +− − − = ( ) ( ) ( ) 12 12 1 2 cos 2 iz z iz z e e z z + −+ + = =+ 同样得，cos cos sin sin cos z z z z zz 1 2 1 2 12 + =− ( ) （3） ( ) ( ) ( ) ( ) sh sin 22 2 z z i iz i iz i iz i iz ee e e e e z i i iz i − − − −− − = = =− =− （4） ( ) ( ) ch cos 2 2 z z i iz i iz ee e e z iz − − + + == = （5）令 cos 2 iw iw e e z w − + = = ，则 2 2 10 iw iw e ze − + = ，解出 2 1 iw ezz = + − ， 所以 ( ) 1 2 cos ln 1 zw i z z − = =− + − （6）令 tan iw iw iw iw e e z wi e e − − − = =− + ，解出 2 1 1 iw iz e iz + = − 。所以 1 1 1 tan ln 2 1 iz z w i iz − + = = −
mr-n:e+e-e-el 4 42.证明下列公式：(1)(shz)=chz:(2)(ch:)'=shz: (3)(th)'=sech2:;(4)(cth)'=-csch2: w-: wai-j2-品jw 时2 43.证明下列不等式：(1)sh≤sin(x+y≤chy: (2)h≤cos(x+y≤chy。 (1)sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsin iy=sinxch y+icosxshy, 所以sin(x+y=Vsin2xchy+cos2xsh2y。 代入ch2y=1+sh2y得sin(x+y=V5Sin2x+sh2)y≥shy, 代入sh2y=ch2y-1得sin(x+y=Vh2y-cos2x≤chy.不等式得证. (2)同(1)。 4.解下列方程（①sh:=0:2)2ch:-3ch:+1=0:(3)sm2:-3n:+1=0:
（7） ( ) ( ) 2 2 2 2 ch sh 1 4 zz zz ee ee z z − − + −− −= = （8） ( ) 2 2 2 2 4 1 th 1 sech z z z z z z e e z z e e e e − − − ⎛ ⎞ − − =− = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + 42．证明下列公式：（1）( ) sh ch z z ′ = ；（2）( ) ch sh z z ′ = ； （3）( ) 2 th sech z z ′ = ；（4）( ) 2 cth csch z z ′ = − （1）( ) sh ch 2 2 zz zz ee ee z z − − ′ ⎛ ⎞ − + ′ = == ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （2）( ) ch sh 2 2 zz zz ee ee z z − − ′ ⎛ ⎞ + − ′ = == ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （3）( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 th sech zz zz z z zz zz z z e e ee ee z z ee ee e e − − − − − − ⎛ ⎞ − ′ + −− ⎛ ⎞ ′ == = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + + ⎝ ⎠ （4）( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 cth csch zz zz z z zz zz z z e e ee ee z z ee ee e e − − − − − − ⎛ ⎞ + ′ − −+ ⎛ ⎞ ′ = = =− =− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − − ⎝ ⎠ 43．证明下列不等式：（1） sh sin ch y x iy y ≤ +≤ ( ) ； （2） sh cos ch y x iy y ≤ +≤ ( ) 。 （1）sin sin cos cos sin sin ch cos sh ( ) x += + = + iy x iy x iy x y i x y ， 所以 ( ) 22 22 sin sin ch cos sh x += + iy x y x y 。 代入 2 2 ch 1 sh y y = + 得 ( ) 2 2 sin sin sh sh x += + ≥ iy x y y ， 代入 2 2 sh ch 1 y y = − 得 ( ) 2 2 sin ch cos ch x += − ≤ iy y x y 。不等式得证。 （2）同（1）。 44．解下列方程：（1）sh 0 z = ；（2） 2 2ch 3ch 1 0 z z − + = ；（3） 2 5 sin sin 1 0 2 z z − += ；
(4)tan=i. （Dh:-e=0,即e2=1=e2,所以：=次r,（k=0,l2. 2 a解得：该2，用产1产或分土9an,所以：=。 i(±π/3+2kx),(k=0,士L±2.)： (3):=π/6+2kπ，5π/6+2kπ，π/2-iln(2±⑤)+2kπ，(k=0,士l,2.): (4)无解。 46.扇形区城0<吗：<行经变换w=:后边成什么区域？（上半平面） 47.试证：圆A(x+y)+Bx+G+D=0经变换w=后仍为圆，并讨论A=0及D=0 的情况。 由于+护=f=,+动.y-).圆方题同写为 A位+(B-C):+(B+C)归+D=0.令E=8+1C),则方程写成 Az+E+E江+D=0,这就是圆的标准方程。代入：=1/p,得到 D师+Ew+E+A=0,仍是圆方程。 A=0时，将直线变换为圆，D=0时，将圆变换成直线。 48.w=e把实轴上线段0≤x<2π变为什么图形？ 由y=0得w=e产，所以=1.0≤x<2π即是0≤argw<2π，所以变为单位圆。 49.双纽线p2=2a2cos20经变换1w==2后变为什么图形？ 令：=peP,则w=p2e20。令w=e”,则日=20，r=p2-2a2cos6,即变换为圆。 0明：一计带直线y瓜发为间
（4） tan z i = 。 （1）sh 0 2 z z e e z − − = = ，即 2 2 1 z ik e e π = = ，所以 z ik = π ，（k = 0, 1, 2 ± ± "）； （2）解得ch z =1 或 1/2，即 2 2 1 z ik e e π = = 或 1 3 ( ) 3 2 2 2 z i k e ie ± + π π =± = ，所以 z ik = π ， i k ( ) ± + π /3 2 π ，（k = ±± 0, 1, 2"）； （3） z k = + π /6 2 π ，5 /6 2 π + kπ ，π / 2 ln 2 3 2 − ±+ i k ( ) π ，（ k = 0, 1, 2 ± ± "）； （4）无解。 46．扇形区域0 arg 3 z π < < 经变换 3 w z = 后边成什么区域？（上半平面） 47．试证：圆 ( ) 2 2 A x y Bx Cy D + + + += 0经变换 1 w z = 后仍为圆，并讨论 A = 0 及 D = 0 的情况。 由于 2 2 2 x += = y z zz ， ( ) 1 2 x = +z z ， ( ) 1 2 y zz i = − ，圆方程可写为 ( ) ( ) 1 1 0 2 2 Azz B iC z B iC z D + − + + += 。令 ( ) 1 2 E = + B iC ，则方程写成 Azz Ez Ez D + + += 0，这就是圆的标准方程。代入 z w =1/ ，得到 Dww Ew Ew A + + += 0 ，仍是圆方程。 A = 0 时，将直线变换为圆， D = 0 时，将圆变换成直线。 48． iz w e = 把实轴上线段0 2 ≤ <x π 变为什么图形？ 由 y = 0得 ix w e = ，所以 w =1。0 2 ≤ x < π 即是0 arg 2 ≤ w < π ，所以变为单位圆。 49．双纽线 2 2 ρ = 2 cos 2 a ϕ 经变换 2 w z = 后变为什么图形？ 令 i z e ϕ = ρ ，则 2 2i w e ϕ = ρ 。令 i w re θ = ，则θ = 2ϕ ， 2 2 r a = = ρ 2 cosθ ，即变换为圆。 50．证明： 1 1 z w i z − = − + 将直线 y ax = 变为圆
直线写为+e0,4-小以：产用 mw丽+w+p-a=0,即为圆方程 1.亚明在变挨=-目}下、：平面上以聚为心，。(B>0)为半径的丽变 为w平面上的椭圆，焦点为士i,长短半轴分别为chB及shB 令：=peP,则圆方程为p=eP。 w-g-ete）-e+e'snp-ecsp+e”sinp] =sh Bcoso+ichBsin 令w=+,则=动B0asp,=c由Bsnp,消去p得万+万1.即以打为 焦点，chB及shB为长短半轴的椭圆。 52.设w=wk,)+mk)解折，且≠0，试证曲线族uk,)=C,(x)=C,(G, C2为任意实常数)互相正交。 (avav 设1·么为过点（化）的两曲战在该点的法向品，即么一，”而】 期4%器容等帘部容等器0，博两线正文
直线方程写为 Az Az + = 0，其中 ( ) 1 2 A = a i − 。代入 1 1 iw z iw + = − 得 aww w w a ++−= 0 ，即为圆方程。 51．证明：在变换 1 1 2 w z z ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 下， z 平面上以原点为圆心，eβ （ β > 0 ）为半径的圆变 为 w 平面上的椭圆，焦点为 ±i ，长短半轴分别为ch β 及sh β 。 令 i z e ϕ = ρ ，则圆方程为 eβ ρ = 。 ( ) 1 1 cos sin cos sin 2 2 i i w e e e e e ie e ie βϕ β ϕ β β β β ϕ ϕϕ ϕ −− − − =−= + − + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = + sh cos ch sin β ϕ βϕ i 令 w x iy = + ，则 x = sh cos β ϕ ，y = ch sin β ϕ ，消去ϕ 得 2 2 2 2 1 sh ch x y β β + = ，即以 ±i 为 焦点，ch β 及sh β 为长短半轴的椭圆。 52．设 w u x y iv x y = + () () , , 解析，且 0 dw dz ≠ ，试证曲线族 ( ) 1 u xy C , = ， ( ) 2 vxy C , = （C1 ， C2 为任意实常数）互相正交。 设 n1 ， n2 为过点( ) x, y 的两曲线在该点的法向量，即 1 , u u x y ⎛ ⎞ ∂ ∂ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ n ， 2 , v v x y ⎛ ⎞ ∂ ∂ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ n 。 则 1 2 0 uv uv uu uu xx yy xy yx ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ⋅ = + =− + = ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ n n ，即两曲线正交
53.判断下列函数是单值的还是多值的： 0:+:en96as:wnsm:6),6 1 明显(1)、(4)都是多值函数。 用士w表示：的两个平方根，即E=w或-w.取E=r,则0sE_0s,取 w E:-,则-仁.-o”,即为多值商数，月群可得.血 -1 E 为单值函数。 54.找出下列函数的枝点，并讨论：绕各个枝点移动一周回到原处函数值的变化。若同时绕 两个，三个枝点，又会出现怎样的情况？ ①iF:2)+P:g)a 6)2-4:()(e+:(8)n(e+ v-F-可s院1点-国不他n 。宁)回到原处，因子顺时针绕0点旋转石，另外两个因子V。一e产和。一e号 不变，故w顺时针绕0点旋转石。当：逆时针绕e宁（或e宁）点一图（不包围另外两点） 回到原处，逆时针绕0点旋转元·所以1，e宁为枝点。若：逆时针绕1和e宁两点一 图（不包国e宁）回到原处，”不变，同样的，：逆时针绕任意两个枝点一圈（不包围另 一个枝点)回到原处，都不变。若：逆时针绕这三个枝点一图回到原处，顺时针绕0 点旋转π，所以0也是枝点。 (2)枝点是士1： 1 （》枝点是6（：6造时针一图到原处.因子一质时针挠0点转 (4)枝点是0,0： (5)枝点是0,0： (6)枝点是±2,0： (7)枝点是0，： (8)枝点是±i,0:
53．判断下列函数是单值的还是多值的： （1） z z + −1；（2） 1 1 ln + z ；（3） cosz ；（4）ln sin z ；（5） cos z z ；（6） sin z z 。 明显（1）~（4）都是多值函数。 用 ±w 表示 z 的两个平方根，即 z w= 或 −w 。取 z w= ，则 cos cos z w z w = ，取 z w = − ，则 cos cos z w cos( ) w z w w − = =− − ，即 cos z z 为多值函数，同样可得，sin z z 为单值函数。 54．找出下列函数的枝点，并讨论 z 绕各个枝点移动一周回到原处函数值的变化。若同时绕 两个，三个枝点，又会出现怎样的情况？ （1） 3 1− z ；（2） 2 z z + −1；（3） z a z b − − ；（4） 1 1 ln + z ；（5） cos z z ； （6） 3 2 z − 4 ；（7） ( ) 2 3 z z +1 ；（8） ( ) 2 ln 1 z + 。 （1） ( ) 2 2 3 3 3 1 1 i i w z z ze ze π π ⎛ ⎞⎛ ⎞ − =−= − − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ，当 z 逆时针绕 1 点一圈（不包围 2 3 i e π 和 2 3 i e π − ）回到原处，因子 1− z 顺时针绕 0 点旋转π ，另外两个因子 2 3 i z e π − 和 2 3 i z e π − − 不变，故 w 顺时针绕 0 点旋转π 。当 z 逆时针绕 2 3 i e π （或 2 3 i e π − ）点一圈（不包围另外两点） 回到原处， w 逆时针绕 0 点旋转π 。所以 1， 2 3 i e π ± 为枝点。若 z 逆时针绕 1 和 2 3 i e π 两点一 圈（不包围 2 3 i e π − ）回到原处， w 不变，同样的， z 逆时针绕任意两个枝点一圈（不包围另 一个枝点）回到原处， w 都不变。若 z 逆时针绕这三个枝点一圈回到原处， w 顺时针绕 0 点旋转π ，所以∞ 也是枝点。 （2）枝点是±1； （3）枝点是a ，b （ z 绕b 逆时针一圈回到原处，因子 1 z b − 顺时针绕 0 点旋转π ）； （4）枝点是 0，∞ ； （5）枝点是 0，∞ ； （6）枝点是± 2，∞ ； （7）枝点是 0，-1； （8）枝点是± i，∞ ；