(3)仿(1)的方法，u,v在：=0处的偏导数不存在。 以阴标Fc2)班间需】产（窝- 利用24题(1)(3)式， Ov 1 Ov cosp- 1 0u sing+i op cos-1 代入极坐标C-R方程， re-帝op+多np+帝-品p 品+别 再拥标c为有r-品+-0-副 28.设p=p(x,y),p=p(x,y)是实变量x,y的实函数。若f()=p(cosp+isin)是 :价的解折通政、明器-受器-器 会-名oag-np会等-等os0-np号 会-器np+器齐-等np+pcw器 由CR方程可得： (1) 器npp尝等we-phe号 2)
（3）仿（1）的方法，u ，v 在 z = 0处的偏导数不存在。 27．利用极坐标下的 C-R 方程（24 题）证明： ( ) uv vu 1 fz i i z z ρ ρ ρ ϕϕ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂∂ ′ = += − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂∂ 。 利用 24 题（1）（3）式， ( ) 1 1 cos sin cos sin u vu u v v fz i i i x x ϕ ϕϕ ϕ ρ ρϕ ρ ρϕ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ′ =+ = − + − ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ 代入极坐标 C-R 方程， ( ) cos sin cos sin uv v u fz i i ϕ ϕ ϕϕ ρρ ρ ρ ∂∂ ∂ ∂ ′ = ++ − ∂∂ ∂ ∂ ( ) cos sin cos sin cos sin uv v u i ii z ρ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ρρ ρ ρ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ = + ++ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ∂ u v i z ρ ρ ρ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ 再利用极坐标 C-R 方程有 ( ) uv vu 1 fz i i z z ρ ρ ρ ϕϕ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂∂ ′ = += − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂∂ 。 28．设 ρ ρ = ( ) x, y ，ϕ ϕ= ( ) x, y 是实变量 x, y 的实函数。若 fz i ( ) = + ρ (cos sin ϕ ϕ ) 是 z x iy = + 的解析函数，证明： x y ρ ϕ ρ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， y x ρ ϕ ρ ∂ ∂ = − ∂ ∂ 。 cos sin u x x x ρ ϕ ϕρ ϕ ∂∂ ∂ = − ∂∂ ∂ ， cos sin u yy y ρ ϕ ϕρ ϕ ∂∂ ∂ = − ∂∂ ∂ ， sin cos v x x x ρ ϕ ϕρ ϕ ∂∂ ∂ = + ∂∂ ∂ ， sin cos v yy y ρ ϕ ϕρ ϕ ∂∂ ∂ = + ∂∂ ∂ 。 由 C-R 方程可得： cos sin sin cos x xy y ρ ϕρ ϕ ϕρ ϕ ϕρ ϕ ∂ ∂∂ ∂ − =+ ∂ ∂∂ ∂ ， （1） sin cos cos sin x xy y ρ ϕρ ϕ ϕρ ϕ ϕρ ϕ ∂ ∂∂ ∂ + =− + ∂ ∂∂ ∂ 。 （2） （1）× + cosϕ （2）×sinϕ 得 x y ρ ϕ ρ ∂ ∂ = ∂ ∂
0Xnp-e)Xcsp特器-p器 29.设r=r(p,p),0=0(p,p)是实变数p,p的实函数。若f()=r(cos0+isin0)解 折，中：=pe,试证0p80ao 常帝w0-rsm0品0-品oms0-rsm0品 ap do do ao 由极坐标C-R方程(24题)得： coso-rsine=sine+cosedo ap pao (1) p 帝n0+ramo品-品m0片m0治 (2) 1)xcos+(2)xinp得产=上a0 dp pao ②Xmp-DXap用亮=-a品 30.若函数f()=“+v在G内解析，且f()≠常数，试讨论下列函数是否也是G内的 解析函数：(1)4-：(2)-u-;(3)-v+i:(4)v+。 由C-R方程判断，(2)(3)解析，(1)(4)不解析。 3引.设：=x+少，已知解析函数f(e)=(x,y)+i(,y)的实部或虚部如下，试求其导 )(1)eosx:(2)u=chxcosy:(3)v=sinxshy:(4) (5)u=ln(x2+y2:(6)v=x+6x2y-3g2-2y. 密en,-0csx
（1）× − sinϕ （2）×cosϕ 得 y x ρ ϕ ρ ∂ ∂ = − ∂ ∂ 。 29．设r r = ( ) ρ,ϕ ，θ = θ ρϕ ( ) , 是实变数 ρ,ϕ 的实函数。若 fz r i ( )( ) = + cos sin θ θ 解 析，其中 i z e ϕ = ρ ，试证： r r θ ρ ρ ϕ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， r r θ ρ ϕ ρ ∂ ∂ = − ∂ ∂ 。 cos sin u r r θ θ θ ρ ρ ρ ∂∂ ∂ = − ∂∂ ∂ ， cos sin u r r θ θ θ ϕ ϕ ϕ ∂∂ ∂ = − ∂∂ ∂ ， sin cos v r r θ θ θ ρ ρ ρ ∂∂ ∂ = + ∂∂ ∂ ， sin cos v r r θ θ θ ϕ ϕ ϕ ∂∂ ∂ = + ∂∂ ∂ 。 由极坐标 C-R 方程（24 题）得： 1 cos sin sin cos r rr r θ θ θθ θ θ ρ ρ ρϕ ρ ϕ ∂ ∂∂ ∂ −= + ∂ ∂∂ ∂ ， （1） 1 sin cos cos sin r rr r θ θ θθ θ θ ρ ρ ρϕ ρ ϕ ∂ ∂∂ ∂ + =− + ∂ ∂∂ ∂ 。 （2） （1）× + cosϕ （2）×sinϕ 得 r r θ ρ ρ ϕ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， （2）× − sinϕ （1）×cosϕ 得 r r θ ρ ϕ ρ ∂ ∂ = − ∂ ∂ 。 30．若函数 f ( )z u iv = + 在 G 内解析，且 f (z) ≠ 常数，试讨论下列函数是否也是 G 内的 解析函数：（1）u iv − ；（2）− − u iv ；（3）−v iu + ；（4）v iu + 。 由 C-R 方程判断，（2）（3）解析，（1）（4）不解析。 31．设 z x iy = + ，已知解析函数 f (z u x y iv x y ) = + ( , , ) ( ) 的实部或虚部如下，试求其导 数 f ′( )z ：（1） cos y ue x − = ；（2）u xy = ch cos ；（3）v xy = sin sh ；（4） 2 2 x v x y = + ； （5） ( ) 2 2 u xy = + ln ；（6） 32 23 v x x y xy y =+ − − 632 。 （1） sin u y e x x ∂ − = − ∂ ， cos v u y e x x y ∂ ∂ − =− = ∂ ∂
f旧）-+会-e(血+ic=e=it 2)f(e)=h:(3)fe)=sin:(4fe)=-÷:6)f(e)-2 (6)'()=3(2+)22。 32.根据下列条件确定解析函数f(e)=u+m。 Dw=x+y:2》u=sinxchy:(3》=F本y4)r=acta (Dh=k+d山=-0dk+必=d0-,所以v=y-x+C(C为实常数. f=u+iw=(1-)x+(1+)y+iC=(1-)z+C: (2)f=sinz+iC:(3)f=上+C:(4)f=lnz+C。 33.若f()=u(x,y)+iv(x,y)解析，且u(x,y)-v(x,y)=(x-y)(x2+4y+y2）,求 f(e). 已知可特尝-盘=+4+了+(-2+4小 等-8-+4+(-+2 密容6m·号盘- 解出u=3x2y-y+C,v=3xy2-x3+C2,由已知条件可确定C=C2=C. f(e)=u+im=3x2y-y3+i(3xy2-x2)+(1+)C=iz3+(1+)C
( ) ( ) sin cos u v y y ix iz f z i e x i x ie ie x x ∂ ∂ − −+ ′ =+ = − + = = ∂ ∂ ； （2） f ′( )z z = sh ；（3） f ′( )z z = sin ；（4） ( ) 2 i f z z ′ = − ；（5） ( ) 2 f z z ′ = ； （6） () ( ) 2 f ′ z iz = + 3 2 。 32．根据下列条件确定解析函数 f (z u iv ) = + 。 （1）uxy = + ；（2）u xy = sin ch ；（3） 2 2 x v x y = + ；（4） arctan y v x = 。 （1） ( ) vv uu dv dx dy dx dy d y x xy yx ∂∂ ∂∂ = + =− + = − ∂∂ ∂∂ ，所以v yxC = − + （C 为实常数）， f =+ = − + + + = − + u iv i x i y iC i z iC ( )( ) 11 1( ) ； （2） f = + sin z iC ；（3） i f C z = + ；（4） f = ln z C+ 。 33．若 f () ( ) ( ) z u x y iv x y = + , , 解析，且 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 u x y v x y x y x xy y , 4 − =− + + ，求 f ( )z 。 由已知可得 ( )( ) 2 2 4 24 u v x xy y x y x y x x ∂ ∂ − =+ ++− + ∂ ∂ ， ( ) ( )( ) 2 2 4 42 u v x xy y x y x y y y ∂ ∂ − =− + + + − + ∂ ∂ ， 再由 C-R 方程 u v x y ∂ ∂ = ∂ ∂ ， u v y x ∂ ∂ = − ∂ ∂ 。由以上四式可解出： 6 u v xy x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ ， ( ) 2 2 3 u v x y y x ∂ ∂ =− = − ∂ ∂ 。 解出 2 3 1 u xy y C = −+ 3 ， 2 3 2 v xy x C = −+ 3 ，由已知条件可确定CCC 1 2 = = 。 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 23 3 f z u iv x y y i xy x i C iz i C =+ = − + − + + = + + 3 31 1 34．若u xy ( ) , 具有连续三阶偏导数，且 2 2 2 2 0 u u x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ ，证明函数 u u i x y ∂ ∂ − ∂ ∂ 解析
即该函数满足C-R方程，所以解析。 35.如果(x,y)和v(x,y)都是调和函数，讨论下列函数是否也是调和函数： (1)U=[v(xy),0]:(2)U=[0,r(xy]:(3)U=u(x,yr(x,y): (4)U=u(x,y)+v(x,y) 婴密 等盘 密盘剖 上式右边一般不等于0，所以不是调和函数 密密-信袋》不程业 36.假设函数f(e)在区域G内任意一点都满足∫'(：)=0，证明f(:)在G内为常数。 了日-0会-0，所心会-岩-会-容-0，即u,布是m数，日为政
令 u U x ∂ = ∂ ， u V y ∂ = − ∂ ，则 2 2 2 2 0 UV u u xyx y ∂∂∂∂ −= + = ∂∂∂ ∂ ， 2 2 0 UV u u y x xy yx ∂∂ ∂ ∂ + =−= ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ， 即该函数满足 C-R 方程，所以解析。 35．如果u xy ( ) , 和vxy ( ) , 都是调和函数，讨论下列函数是否也是调和函数： （1）U u vxy = ⎡ ⎤ ( ) , ,0 ⎣ ⎦ ；（2）U u vxy = ⎡0, , ( )⎤ ⎣ ⎦ ；（3）U u xyvxy = ( , , ) ( ) ； （4）U u xy vxy = + ( )( ) , , 。 （1） ( ) v,0 Uu v x x x ∂∂ ∂ = ∂∂ ∂ ， ( ) ( ) 2 22 2 22 2 v,0 v,0 Uu v u v x x x xx ∂∂ ∂∂∂ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ∂∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠ ， ( ) v,0 Uu v yx y ∂∂ ∂ = ∂∂ ∂ ， ( ) ( ) 2 22 2 22 2 v,0 v,0 Uu v u v yx y xy ∂∂ ∂∂∂ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ∂∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠ 。 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 v,0 v,0 UU u v v u vv x y x x y x xy ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ += + + + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ( ) 2 2 2 2 v,0 u vv x xy ⎡ ⎤ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂∂ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 上式右边一般不等于 0，所以不是调和函数。 （2） ( ) 2 2 22 2 222 0,v UU u v v xyy x y ⎡ ⎤ ∂∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ += + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂∂∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ，不是调和函数。 （3） 22 2 22 2 2 U u uv v v u x x xx x ∂ ∂ ∂∂ ∂ =+ + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ， 22 2 22 2 2 U u uv v v u y y yy y ∂ ∂ ∂∂ ∂ =+ + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ， 2 2 2 2 2 U U uv uv x y xx yy ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ⎛ ⎞ += + ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ⎝ ⎠ ，不是调和函数。 （4） 2 22 2 22 U uv x x x ∂ ∂∂ = + ∂ ∂∂ ， 2 22 2 22 U uv y yy ∂ ∂∂ = + ∂ ∂∂ ， 2 2 2 2 0 U U x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ ，是调和函数。 36．假设函数 f ( )z 在区域 G 内任意一点都满足 f z ′( ) = 0 ，证明 f (z) 在 G 内为常数。 ( ) 0 u v fz i x x ∂ ∂ ′ =+ = ∂ ∂ ，所以 0 uuvv xyxy ∂∂∂∂ ==== ∂∂∂∂ ，即u ，v 都是常数， f ( )z 为常数
37.若f(e)在区域G内解析，且Imf(e)=0,证明f(e)在G内为常数。 会-合-0等会-0，所u又-0，日在6有 38.若f()=u(x,y)+r(x,y)在区域G内解析，且au+bm=c,其中a,b,c是不为0 的实常数，证明f(:)在G内为常数。如果a,b,c是不为0的复常数，结论还成立吗？ 股-6=0，.号+60=0，两试清去器+b倍=0，由于a6为 实数，所以=0。同样可符=-m=0,所以f日为常数。如果a,bc是复数， 可yxy 结论不成立。 39.若f(e)和g(e)在z=a点解析，且f(a)=g(a)=0,而g(a)≠0，试证 得% -得-10y0-8 2-a/ -ag(a） 40.设：沿着从原点出发的射线运动，其模无限增大，试讨论函数的变化趋势。 e=ee,若x>0(御-受<g:<经、e→ 若<0（御<理：<受.c→0. 若x=0（即g:=±受，。的实部虚部在[刂之间表荡 41.证明下列公式：
37．若 f ( )z 在区域 G 内解析，且 Im 0 f z( ) = ，证明 f (z) 在 G 内为常数。 0 u v x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ ， 0 u v y x ∂ ∂ = − = ∂ ∂ ，所以u 为常数，又v = 0 ，所以 f (z) 在 G 内为常数。 38．若 f () ( ) ( ) z u x y iv x y = + , , 在区域 G 内解析，且 au bv c + = ，其中 abc , , 是不为 0 的实常数，证明 f (z) 在 G 内为常数。如果 abc , , 是不为 0 的复常数，结论还成立吗？ 由已知可得 0 u v a b x x ∂ ∂ + = ∂ ∂ ， 0 u v a b y y ∂ ∂ + = ∂ ∂ ，代入 C-R 方程， 0 u u a b x y ∂ ∂ − = ∂ ∂ ， 0 u u a b y x ∂ ∂ + = ∂ ∂ ，两式消去 u y ∂ ∂ 得( ) 2 2 0 u a b x ∂ + = ∂ ，由于 a b, 为 实数，所以 0 u x ∂ = ∂ 。同样可得 0 uvv yxy ∂∂∂ = = = ∂∂∂ ，所以 f (z) 为常数。如果 abc , , 是复数， 结论不成立。 39．若 f ( )z 和 g z( ) 在 z a = 点解析，且 f a ga ( ) = ( ) = 0 ，而 g a ′( ) ≠ 0 ，试证： ( ) ( ) ( ) ( ) limz a f z fa → gz g a ′ = ′ 。 ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim za za f z fa f z f a gz ga → → gz g a za za − − ′ = = − − ′ 。 40．设 z 沿着从原点出发的射线运动，其模无限增大，试讨论函数 z e 的变化趋势。 z x iy e ee = ，若 x > 0 （即 arg 2 2 z π π −< < ）， z e → ∞。 若 x < 0 （即 3 arg 2 2 z π π < < ）， 0 z e → 。 若 x = 0 （即arg 2 z π = ± ）， z e 的实部虚部在[−1,1]之间振荡。 41．证明下列公式：