19.试证明：从条件m三，=A可以导出十5十+三=A。又当4=0时上达结论 还正确吗？ 由m,=4知对于任意的8>0，存在整数N,使得当n>N时有，-A<: 对于给定的N,存在N,使有占4色-<号当N=m N 时，+++三-A小-A0+6-A0++(-4 ≤6-A+5-A++%-A0+5-+w2-A++5.-A0 点46-w件k小 登nNa-)片=t 即m+5,++三=A
19．试证明：从条件 lim n n z A →∞ = 可以导出 1 2 lim n n zz z A →∞ n + + + = " 。又当 A = ∞ 时上述结论 还正确吗？ 由 lim n n z A →∞ = 知对于任意的ε > 0 ，存在整数 N1，使得当 1 n N> 时有 2 n z A ε − < 。 对于给定的 N1，存在 N2 ，使得 1 1 2 2 2 N zAz A z A N −+ −++ − ε < " 。当 ( ) max ,1 2 n N NN > = 时， ( )( ) ( ) 1 2 1 2 n 1 n zz z A zA zA zA n n +++ −= − + − ++ − " " ( ) ( ) 1 11 12 1 2 1 1 N NN n zAz A z A z Az A z A n n ≤ −+ −++ − + −+ −++ − " " + + ( ) 1 1 1 1 2 1 2 2 1 N 1 NN n zAz A z A z Az A z A N nN + + −+ −++ − < + −+ −++ − − " " ( ) 1 1 1 2 2 n N n N ε ε <+ − = ε − 即 1 2 lim n n zz z A →∞ n +++ = "
20.设z=x+y,o=x+%,c=a+ib,并且己知f(e)=u(x,y)+(x,y),证明 limf(e)=c与imu(xy)=a,mv(x,y)=b等价 由于f-d=l(u-a+i(v-b,所以u-al(或v-b0≤f-c≤u-ad+v-bl。 若1imf()=c,对于任意的e>0,则存在6，当-=Vx-x)》广+(y-)<6, 就有lu-d(或v-b)≤f-c<6,即1imu(x,y)=a,limv(x,y)=b. 同样的，若典u(x,川=a,g(化月=b,就有mf)=c y→ +% 21.证明：（日）-一三在单位圆日1内连续但不一-致连续。 易证∫()连续（初等函数）。下面证f()在单位圆内不一致连续。 定义在D上的函数f(e)在D上一致连续的充要条件：任意的{x,}CD,{y}CD,只 要1im(x。-y)=0,就有1im[f(x)-f(y]=0 1 f(3,)-0,)=2→0.所以f日在单位圆<1内不一致连续， 22.证明下列函数在：=0点连续： [Re() (1)f()= -,2≠0 -2 (2)f(e)=. 0,=0 u0eepn哥- m/(e=r2-=0,即imfe=f0,所以f曰)在：=0点连线
20．设 z x iy = + ， 00 0 z x iy = + ， c a ib = + ，并且已知 f (z u x y iv x y ) = + ( , , ) () ，证明 ( ) 0 limz z f z c → = 与 ( ) 0 0 lim , x x y y u xy a → → = ， ( ) 0 0 lim , x x y y vxy b → → = 等价。 由于 f −= − + − c u a iv b ( )( ) ，所以 ua vb f c ua vb − (或 − ≤ −≤−+− ) 。 若 ( ) 0 limz z f z c → = ，对于任意的ε > 0 ，则存在δ ，当 ( )( ) 2 2 000 zz xx yy − = − +− < δ ， 就有 ua vb f c − − ≤ −< ( ) 或 ε ，即 ( ) 0 0 lim , x x y y u xy a → → = ， ( ) 0 0 lim , x x y y vxy b → → = 。 同样的，若 ( ) 0 0 lim , x x y y u xy a → → = ， ( ) 0 0 lim , x x y y vxy b → → = ，就有 ( ) 0 limz z f z c → = 。 21．证明： ( ) 2 1 1 f z z = − 在单位圆 z <1内连续但不一致连续。 易证 f ( )z 连续（初等函数）。下面证 f (z) 在单位圆内不一致连续。 定义在 D 上的函数 f ( )z 在 D 上一致连续的充要条件：任意的{xn} ⊂ D ，{y D n} ⊂ ，只 要 lim 0 ( ) n n n x y →∞ − = ，就有 lim 0 ( n n ) ( ) n fx fy →∞ ⎡ ⎤ − = ⎣ ⎦ 令 1 1 n x n = − ， 2 1 n y n = − ，则 1 1 0 1 2 1 1 n n x y n n n − = → −+ − ， () () 2 n n n fx fy − = →∞ 。所以 f (z) 在单位圆 z <1内不一致连续。 22．证明下列函数在 z = 0点连续： （1） ( ) ( ) 2 2 2 Re , 0 0, 0 z z f z z z ⎧⎡ ⎤ ⎪⎣ ⎦ ≠ = ⎨ ⎪ ⎩ = ， （2） f (z z ) = 。 （1）在 z ≠ 0 处， ( ) ( ) ( ) 2 2 22 22 2 2 22 22 2 xy xy f z xy x y ixy x y − − = ≤ =− −+ − ， ( ) 2 2 0 0 0 lim lim 0 z x y fz x y → → → = −= ，即 ( ) ( ) 0 lim 0 z fz f → = ，所以 f (z) 在 z = 0点连续
2)mf()=mVF+y=0=f0). y→0 23.判断下列函数在何处可导（并求出导数），在何处解析： (1):(2)三：(3)，m=0,12:(4)e:(5)(x2+2y)+ix2+y2）: (6)(x-y)+2i(x+y):(7)zRe::(8):(9)cosz:(10)sh2. 由可导充分条件(25题)判别： (1)全平面不可导，不解析： (2)全平面不可导，不解析 (3)全平面可导，解析，(）=mc-: (4)全平面可导，解析，(e）=e: (5)除(1，)点可导外，全平面其余处处不可导，全平面不解析： (6)除yX1的线上处处可导外，其余点不可导，全平面不解析 ()0点可号，(Re儿=0，其余处处不可号，全平面不解析： (8)除x0点外在扩充全平面上可导，解析，(W)'=-/:2 (9)全平面可导，解析，(cos)=-sinz: (10)全平面可导，解析，(sh:)=ch: 由变换关系x=pcsp,y=psino可得 CD Ox 文换期器-帝p-品np (1D
（2） ( ) ( ) 2 2 0 0 0 lim lim 0 0 z x y fz x y f → → → = + == 。 23．判断下列函数在何处可导（并求出导数），在何处解析： （1） z ；（2） z ；（3） mz ， m = 0,1,2,"；（4） z e ；（5）( )( ) 2 22 x ++ + 2y ix y ； （6）() () 2 x −+ + y ix y 2 ；（7） z z Re ；（8）1 z ；（9）cosz ；（10）shz 。 由可导充分条件（25 题）判别： （1）全平面不可导，不解析； （2）全平面不可导，不解析； （3）全平面可导，解析，( ) m m 1 z mz ′ − = ； （4）全平面可导，解析，( )z z e e ′ = ； （5）除（-1，-1）点可导外，全平面其余处处不可导，全平面不解析； （6）除 y=x-1 的线上处处可导外，其余点不可导，全平面不解析； （7）z=0 点可导，( ) 0 Re 0 z z z = ′ = ，其余处处不可导，全平面不解析； （8）除 z=0 点外在扩充全平面上可导，解析，( ) 2 1 1 z z ′ = − ； （9）全平面可导，解析，( ) cos sin z z ′ = − ； （10）全平面可导，解析，( ) sh ch z z ′ = 。 24．证明极坐标下的 Cauchy-Riemann 条件： u v 1 ρ ρ ϕ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， v u 1 ρ ρ ϕ ∂ ∂ = − ∂ ∂ 。 由变换关系 x=ρcosϕ， y = ρ sinϕ 可得 cos sin uu u x y ϕ ϕ ρ ∂∂ ∂ = + ∂∂ ∂ ， sin cos uu u x y ρ ϕρ ϕ ϕ ∂∂ ∂ =− + ∂∂ ∂ ， cos sin vv v x y ϕ ϕ ρ ∂∂ ∂ = + ∂∂ ∂ ， sin cos vv v x y ρ ϕρ ϕ ϕ ∂∂ ∂ =− + ∂∂ ∂ 。 变换得 1 cos sin uu u x ϕ ϕ ρ ρϕ ∂∂ ∂ = − ∂∂ ∂ ， （1）
(2) 会品op (3) dv Ov (4) 代入直角坐标的CR方尝-容号会有 ip cosp-I ou 帝p+2m9=帝op+b品np (6 op poo (5)×simp-(6)xc0sp符=-1 ap pao 25.证明：若函数∫(e)的偏导数在：=点连续，且满足C-R方程，则f(e)在z=。点 可导。 由f()的偏导数在：=。点连续可知(x,y),v(x,y)在：=6点可微，所以有 x Ay+E 6+A,%+4)-6）=别Ax+则Ay+G ,则以上两式写成 u(5o+△）-u()-a△r+bAy=G
1 sin cos uu u y ϕ ϕ ρ ρϕ ∂∂ ∂ = + ∂∂ ∂ ， （2） 1 cos sin vv v x ϕ ϕ ρ ρϕ ∂∂ ∂ = − ∂∂ ∂ ， （3） 1 sin cos vv v y ϕ ϕ ρ ρϕ ∂∂ ∂ = + ∂∂ ∂ 。 （4） 代入直角坐标的 C-R 方程 u v x y ∂ ∂ = ∂ ∂ ， u v y x ∂ ∂ = − ∂ ∂ 有 1 1 cos sin sin cos u uv v ϕ ϕϕ ϕ ρ ρϕ ρ ρϕ ∂ ∂∂ ∂ − =+ ∂ ∂∂ ∂ ， （5） 1 1 sin cos cos sin uuv v ϕ ϕϕϕ ρ ρϕ ρ ρϕ ∂∂∂ ∂ + =− + ∂∂∂ ∂ 。 （6） （5）×cosϕ +（6）×sinϕ 得 u v 1 ρ ρ ϕ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， （5）× − sinϕ （6）×cosϕ 得 v u 1 ρ ρ ϕ ∂ ∂ = − ∂ ∂ 。 25．证明：若函数 f ( )z 的偏导数在 0 z z = 点连续，且满足 C-R 方程，则 f ( )z 在 0 z z = 点 可导。 由 f ( )z 的偏导数在 0 z z = 点连续可知u xy ( , ) ，vxy ( , ) 在 0 z z = 点可微，所以有 ( )( ) ( ) 0 0 ( ) 0 0 0 0 00 1 , , , , x y x y u u u x xy y u x y x y x y ε ∂ ∂ +∆ +∆ − = ∆ + ∆ + ∂ ∂ ， ( )( ) ( ) 0 0 ( ) 0 0 0 0 00 2 , , , , x y x y v v vx xy y vx y x y x y ε ∂ ∂ +∆ +∆ − = ∆ + ∆ + ∂ ∂ 。 上面的 1 ε ， 2 ε 是 2 2 ∆ = ∆ +∆ z xy 的高阶无穷小。记 ( ) 0 0 ( ) 0 0 , x y x y, u v a x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ ， ( ) ( ) 0 0 0 0 , x y, x y u v b y x ∂ ∂ =− = ∂ ∂ ，则以上两式写成 ( ) () 00 1 uz z uz ax by +∆ − − ∆ + ∆ = ε
v(o+A=)-v(o)-bAx-aAy=E. 6gO-o6s u(o+A=)-u(=o)-aAx+bAy+i[v(=o+A=)-v(=o)-bAx-aAy] △ stiss △A 当上→0时，飞+-f→a+b,即f付在：=点可号。 A 5 6.设付-后0.)正明：当：→0时.但的极限不存在：(2)若 0,=0 u=Ref(e),v=lmf(e),证明：(x,0)=x,v(0,y)=y,(0,y)=v(x,0)=0: (3)证明：4，v的偏导数存在，且C-R方程成立，但(1)中已证明f'(O)不存在，这个 结论和25题矛盾吗？ 1)0时f(包_（x-4xy+4x-y。在直线y=上 (x2+y2 日-4状+-)，可见：沿不同直线趋于0将有不同极限值，所以 (（1+2)月 但的极限不存在。 2:≠0时.f日间=-10r产+5g+5-10ry+y） (x2+y E-10xy+5g,x,川+0 5y-10y+y,（x.)*0 所以=（x2+y2） v={(x2+y2) 0,(x,y)=0 0,(xy)=0 容易看出u(x,0)=x,v(0,y)=y,u(0,y)=v(x,0)=0
( ) () 00 2 vz z vz bx ay +∆ − − ∆ − ∆ = ε 。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 00 f z z f z f z z f z a z ib z a ib z z +∆ − +∆ − − ∆ − ∆ −+ = ∆ ∆ uz z uz ax by ivz z vz bx ay ( ) () 00 00 ( ) ( ) z +∆ − − ∆ + ∆ + +∆ − − ∆ − ∆ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = ∆ 1 2 1 2 i z zz ε ε + ε ε = ≤+ ∆ ∆∆ 当 ∆ →z 0 时， ( ) () 0 0 fz z fz a ib z +∆ − → + ∆ ，即 f (z) 在 0 z z = 点可导。 26．设 ( ) 5 4 , 0 0, 0 z z f z z z ⎧ ≠ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ = 。（1）证明：当 z → 0 时， f (z) z 的极限不存在；（2）若 u fz = Re ( ) ，v fz = Im ( ) ，证明：ux x ( ,0) = ，vyy (0, ) = ，u y vx (0, ,0 0 )() = = ； （3）证明：u ，v 的偏导数存在，且 C-R 方程成立，但（1）中已证明 f ′( ) 0 不存在，这个 结论和 25 题矛盾吗？ （1） z ≠ 0 时， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 4 4 2 2 2 f z z x y x y ixy x y 4 4 z z x y −− + − = = + 。在直线 y kx = 上 ( ) () () ( ) 2 22 2 2 2 1 4 41 1 f z k k ik k z k − −+ − = + ，可见 z 沿不同直线趋于 0 将有不同极限值，所以 f ( )z z 的极限不存在。 （2） z ≠ 0 时， ( ) ( ) ( ) 5 32 4 4 23 5 2 2 2 x 10 5 5 10 x y xy i x y x y y f z x y − ++ − + = + 。 所以 ( ) ( ) ( ) 5 32 4 2 2 2 10 5 , 0 0, , 0 x x y xy x y u x y x y ⎧ − + ≠ ⎪ = ⎨ + ⎪ = ⎩ ， ( ) ( ) ( ) 4 23 5 2 2 2 5 10 , 0 0, , 0 xy xy y x y v x y x y ⎧ − + ≠ ⎪ = ⎨ + ⎪ = ⎩ 。 容易看出ux x ( ) ,0 = ，vyy ( ) 0, = ，u y vx (0, ,0 0 ) = ( ) =