(1)设坐标系xOy的原点O在坐标系xOy中的坐标是(xo,)。P点在xOy系中的坐 标是(x,y),在x0y系中坐标(xy)。如上面左图，令O丽=：，0严=，O可=。 则=-0，即x+y=x-x。+i(0-为)，由此得x=x-x,y=y- (2)将坐标系xOy绕原点逆时针旋转日角得到坐标系xOy。如上面右图，xOy系中 只是比xOy系中z的幅角小0，即'=ze,由此得x=xcose+ysin日 y'=-xsin+ycos0. 8.设复数，·与满足-三=二三.证明：5-53-5- 2-532-53 自∠小-2C同h国-a代-国=q-q.用 2-=-=-
（1）设坐标系 x′ ′′ O y 的原点O′ 在坐标系 xOy 中的坐标是( x0 0 , y ) 。 P 点在 xOy 系中的坐 标是( ) x, y ，在 x′ ′′ O y 系中坐标( ) x′, y′ 。如上面左图，令OP z = JJJG ，OP z ′ = ′ JJJG ，OO z0 ′ = JJJJG 。 则 0 z zz ′ = − ，即 x′ ′ + =− + − iy x x i y y 0 0 ( ) ，由此得 0 x′ = x x − ， 0 y yy ′ = − 。 （2）将坐标系 xOy 绕原点逆时针旋转θ 角得到坐标系 x′O y′ ′ 。如上面右图，x′ ′′ O y 系中 z′ 只是比 xOy 系中 z 的幅角小θ ，即 i z ze− θ ′ = ，由此得 xx y ′ = cos sin θ + θ ， yx y ′ =− + sin cos θ θ 。 8．设复数 1z ， 2 z ， 3 z 满足 2 1 1 3 31 23 z z z z zz zz − − = − − 。证明： 21 32 13 z z zz zz − =− =− 。 如图， 2 1 3 1 z z AB i A e z z AC − ∠ = − ， 1 3 2 3 AC i C z z e z z BC − ∠ = − 。所以 AB AC AC BC = ，∠A = ∠C 。 由∠ =∠ A C 可得 AB BC = ，代入 AB AC AC BC = 可得 AB BC AC = = ，即 21 32 13 z z zz zz −=− =−
9.(1)给出1,2,3三点共线的充要条件：(2)给出，52,5,5，四点共圆的充要条件。 (1)若三点共线，则矢量一与矢量2-，平行，反之也成立。所以三点共线的充要条 件是二三=实数. 52-33 (2) 如图若四点共圆，则有∠ACB=∠ADB(同弧所对圆周角相等)。反之也成立。写成复数 形式即为三/三=实数。 23-23/22-24 10.求下列方程的根，并在复平面上画出它们的位置。 (1)2+1=0:(2)z3+8=0:(3)4-1=0:(4)+1=0:(5)2m+1=0,n为 正整数：(6)2+2：cos1+1=0,0<1<π。 (1)=i: (2):=2e号-2：3)：=±1，： 4:e号e： (5):=er+2a2m,k=0,1.,2n-1: (6)=-e
9．（1）给出 123 zz z , , 三点共线的充要条件；（2）给出 1234 zz zz , 四点共圆的充要条件。 （1）若三点共线，则矢量 1 3 z z − 与矢量 2 3 z z − 平行，反之也成立。所以三点共线的充要条 件是 1 3 2 3 z z z z − = − 实数。 （2） 如图若四点共圆，则有 ∠ =∠ ACB ADB （同弧所对圆周角相等）。反之也成立。写成复数 形式即为 1 3 1 4 23 24 z z z z zz zz − − = − − 实数。 10．求下列方程的根，并在复平面上画出它们的位置。 （1） 2 z + =1 0 ；（2） 3 z + = 8 0 ；（3） 4 z −1 0 = ；（4） 4 z +1 0 = ；（5） 2 1 0 n z + = ，n 为 正整数；（6） 2 z z + += 2 cos 1 0 λ ，0 < λ < π 。 （1） z = ±i ； （2） 3 2 ,2 i z e π ± = − ； （3） z i = ± ± 1, ； （4） 3 4 4 , i i ze e π π ± ± = ； （5） i kn ( 2 2 ) z e π π + = ， k n = − 0,1, ,2 1 " ； （6） i z e± λ = −
11.设：=p+ig是实系数方程a+a2+a,:2+.+anz”=0的根，证明三=p-ig也是此 方程的根。 对方程两边取共轭得a+a+a,之+.+a,"=0,即三也满足此方程。 12.证明：sinp=(cos40-4c0s2p+3). eo-4e2w+3=eo-l+41-e2m）=e2e(e2o-e2e）-4e(ee-ep） =2ie sin2-8ie sin=2i(cos2+isin2)sin2-8i(cos+isin)sin =8sin'+i(sin40-4sin2p) 取等式两边实部即得证。 13.把sinno和cos np用sinp和cosp表示出米。 cosp+isinnp=(eoso+ising）°=2.n )cos"osin' -星旷a0-两w一m0 n! 宫-a-wm n! 比较两边实部和虚部得： w-2凶-2opsm2o [-2] smp=宫x+-2=可c n!
11．设 z p iq = + 是实系数方程 2 01 2 0 n n a az a z a z + + ++ = " 的根，证明 z p iq = − 也是此 方程的根。 对方程两边取共轭得 2 01 2 0 n n a az a z a z + + ++ = " ，即 z 也满足此方程。 12．证明： ( ) 4 1 sin cos 4 4cos 2 3 8 ϕ ϕϕ = − + 。 ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 22 2 4 3 1 41 4 i i i i i i i ii i e e e e e e e ee e ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ − − − + = −+ − = − − − ( ) ( ) 2 2 sin 2 8 sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 8 cos sin sin i i ie ie i i i i ϕ ϕ = − = + −+ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ( ) 4 =+ − 8sin sin 4 4sin 2 ϕ ϕϕ i 取等式两边实部即得证。 13．把sin nϕ 和cos nϕ 用sinϕ 和cosϕ 表示出来。 ( ) 0 ( ) ! cos sin cos sin cos sin ! ! n k n nk k k n i nin i knk ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ − = + =+ = − ∑ ( ) ( )( ) [ / 2] 2 2 0 ! 1 cos sin 2! 2! n k nk k k n kn k ϕ ϕ − = = − − ∑ ( ) ( )( ) ( ) 1 /2 21 21 0 ! 1 cos sin 2 1! 2 1! n k nk k k n i k nk ϕ ϕ ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ −− + = + − + −− ∑ 比较两边实部和虚部得： ( ) ( )( ) [ / 2] 2 2 0 ! cos 1 cos sin 2! 2! n k nk k k n n kn k ϕ ϕ ϕ − = = − − ∑ ； ( ) ( )( ) ( ) 1 /2 21 21 0 ! sin 1 cos sin 2 1! 2 1! n k nk k k n n k nk ϕ ϕ ϕ ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ −− + = = − + −− ∑
14.将下列和式表示成有限形式：①)立c0sk知：(2)立sink如。 e贤e肾-e学） oeee I-omp el =l 1-eto ee-e号 sm号 比较两边实部和虚部得： 名oso inco sin29na+p 2—， ∑sinko n 记L2为方程=1的n个根，即=e台，k=L2.n-1。则有 ”-1=(e-0(-)(-）(2-), e-e-小nl 令上试两边：1则有1-宁. 1-六气e-2m好-2台m -）学5g-2-号.m告÷ 16.求下列序列{a}的聚点和极限，如果是实数序列，则同时求出上下极限。 wa=6少2eya=旷2aga=ntr+: ④a=2m1+ヅ：6)a-+}mg:66-+动mg
14．将下列和式表示成有限形式：（1） 1 cos n k kϕ = ∑ ；（2） 1 sin n k kϕ = ∑ 。 22 2 1 2 1 22 2 sin 1 2 1 sin 2 nn n ii i n in n i ik i i i ii i k ee e n e ee e e e ee e ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ − + − = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ == = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∑ 比较两边实部和虚部得： ( ) 1 1 sin cos 2 2 cos sin 2 n k n n k ϕ ϕ ϕ = ϕ + ∑ = ， ( ) 1 1 sin sin 2 2 sin sin 2 n k n n k ϕ ϕ ϕ = ϕ + ∑ = 。 15．证明： ( ) 1 2 1 sin sin sin 2n n n nn n π π π − − ⋅ ⋅⋅ = " 。 记 12 1 1, , , , n zz z " − 为方程 1 n z = 的 n 个根，即 2k i n k z e π = ， k n =1,2, , 1 " − 。则有 1 1 ( )( 12 1 )( ) ( ) n n z z zz zz zz −= − − − − " − ， 所以( )( ) ( ) 1 2 12 1 1 1 1 n n n n z zz zz zz z z z z − − − − − − − = = + + ++ − " " 。 令上式两边 z =1，则有 1 2 1 1 n k i n k e n π − = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠ ∏ 。 2 2 1 2 sin 2 sin k kk k k k i ii i i i i n nn n n n k k e e e e ie e e n n ππ π π π π π ⎛ ⎞ − π − π − =− − =− = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 1 1 1 1 11 2 1 1 2 1 11 1 2 sin 2 sin n k n k n nn k i i i n n n n k kk k k ee n n n π π π π π − = − − −− − + − − = == ⎛ ⎞ ∑ ⎜ ⎟ −= = = ⎝ ⎠ ∏ ∏∏ ，即 1 1 1 sin 2 n n k k n n π − − = ∏ = 。 16．求下列序列{an} 的聚点和极限，如果是实数序列，则同时求出上下极限。 （1） ( ) 1 2 1 n n n a n = − + ；（2） ( ) 1 1 2 1 n n a n = − + ；（3） ( )( ) 121 n n an n i = +− + ； （4） 21 1 ( )n n a n ni = ++− ；（5） 1 sin 6 n i n a n ⎛ ⎞ π = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ；（6） 1 1 cos 2 3 n n a n ⎛ ⎞ π = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
(1)聚点±12，极限无，上极限12，下极限-12： (2)聚点0，极限0，上下极限0： (5)聚点0，±12，±√52，±1，极限无： (6)聚点±1/2，土1，极限无，上极限1，下极限-1。 以.正明序列a=1+宁计号+分-nn极限存在 先证话h0+列sx,其中x20. 式右半部分得证，同样可证左半部分。 自安可得点+}号 a4=h+0.即a是送好 ()o.>In(+1)in(le(()-mm =2等9-ha=0 即an是递减有下界序列，所以极限存在。 1证明ee恒等式空-（②儿之小一可-。 右边-2f-后- -.Pbo F-l.fbo,F-Phw.Pw =∑f,f-∑fw,f+∑w四， =∑fmf+w可，=2∑” =公w-官=左边
（1）聚点± 1/2，极限无，上极限 1/2，下极限-1/2； （2）聚点 0，极限 0，上下极限 0； （3）聚点∞，极限∞； （4）聚点∞，极限∞； （5）聚点 0， ± 1/2，± 3 /2，± 1，极限无； （6）聚点± 1/2， ± 1，极限无，上极限 1，下极限-1。 17．证明序列 11 1 1 ln 2 3 n a n n =+ + + − " 极限存在。 先证 ln 1( ) 1 x x x x ≤ +≤ + ，其中 x ≥ 0 。 令 f () ( ) x xx = +− ln 1 ，则 ( ) 1 1 0 1 1 x f x x x ′ = − =− ≤ + + ，所以 fx f ( ) () ≤ = 0 0 ，不等 式右半部分得证，同样可证左半部分。 由此可得 1 11 ln 1 n nn 1 ⎛ ⎞ < +< ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 。 1 1 1 ln 1 0 1 n n a a n n + ⎛ ⎞ −= − + < ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ，即 n a 是递减序列。 由 1 1 ln 1 n n ⎛ ⎞ > + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 得 ( ) 11 1 ln 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 2 3 n a n n ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ > ++ + + + + + + − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " 34 1 1 ln 2 ln ln 1 0 2 3 n n n n ⎛ ⎞ ⎛⎞ + = ⋅⋅⋅ ⋅ − = + > ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ " 即 n a 是递减有下界序列，所以极限存在。 18．证明 Lagrange 恒等式： 2 2 2 2 1 11 n nn kk k k k j jk k k k kj zw z w zw zw = == < ⎛ ⎞⎛ ⎞ = −− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∑ ∑∑ ∑ 。 右边 ( )( ) 2 2 , k j k j jk k j jk kj k j z w zw zw zw zw < = −− − ∑ ∑ 22 2 2 22 , k j k j j k k j k j jk k k kj k j k j k j k j z w z w z w zzww zzww <<< < =−−+ + ∑∑∑∑∑ 2 2 2 2 , k j k j kjk j kj k j k j z w z w zzww ≠ ≠ =−+ ∑∑∑ 2 2 k k kjk j k k j j k kj k j z w zzww zw zw ≠ =+ = ∑ ∑ ∑∑ 2 1 n kk kk kk kk k zw zw zw = = == ∑∑ ∑ 左边