⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2、集合的运算 设A、B是二个集合,定义 AUB={xx∈A或x∈B}(4与B的并集) A∩B={x∈A且x∈B}(4与B的交集) A\B={xx∈A且xB}(4与B的差集) 设表示我们研究某个问题的全体,则其他集合A都是的 子集称Ⅰ为全集或基本集 A的余集或补集记为:Ⅰ\A=AC 例如:在实数集R中A={x10<x≤1} 则有AC={xx≤0或x>1}
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2、集合的运算 设A、B是二个集合，定义 A B = {x x A或x B} (A与B的并集) A B = {x x A且x B} (A与B的交集) A\ B = {x x A且x B} (A与B的差集) 设I表示我们研究某个问题的全体, 则其他集合A都是I的 子集,称I为全集或基本集. C A的余集或补集记为: I \ A = A 例如: 在实数集R中 A = {x 0 x 1} A = {x x 0 x 1} 则有 C 或
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 设A、B、C为任意三个集合,则有下列法则成立: (1)交换律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A (2)结合律(A∪B)C=A∪(B∪C (A∩B)nC=A∩(BC (3)分配律(A∪B)∩C=(A∩C∪(B∩C) (A∩B)C=(AUO∩(BUC (4)对偶律(4UB)=AC∩BC (A∩B)C=AC∪BC 以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立： （1）交换律 A B = B A, A B = B A （2）结合律 (A B)C = A(B C) (A B)C = A(B C) （3）分配律 (A B)C = (AC)(B C) (A B)C = (AC)(B C) C C C （4）对偶律 (A B) = A B C C C (A B) = A B 以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 证明:两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集 证明:∵x∈(AB)→x∈AB→x函A且xgB →x∈A且x∈BC →x∈A∩B, (AUB)cA∩B; 反之,∵x∈A°∩B→x∈A且x∈B →xgA且xgB→xgA∪B →x∈(A∪B), A∩Bc(AUB)° 于是AC∩BC=(A∪B). 注:在以后的证明中,“→”表示“推出”(或“蕴含”分” 表示“等价
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证明:两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集. 证明: C x(A B) x AB x A 且 x B c x A 且 c x B , c c x A B ( ) ; c c c A B A B 反之, c c x A B x A 且 x B x AB ( ) , c x A B ( ) . C C c A B A B 注:在以后的证明中,“ ”表示“推出”(或“蕴含”), “ ” 表示“等价”. c x A 且 c x B 于是 ( ) . C C c A B = A B
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 直积或笛卡儿乘积 AxB={x,yx∈A且∈B 例如: RxR={xy)xeRy∈R} 为xOy面上全体点的集合,记为R2
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics A B = {{x, y} x A且y B} 直积或笛卡儿乘积 例如： R R = (x, y) x R, y R 为xOy面上全体点的集合，记为 . 2 R
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 3、区间和邻域 设a,b∈R,且<b, 开区间(an,b)={x|a<x< 闭区间[a,b]={x|a≤x≤b 半开区间(a,b={x|a<x≤b 和[,b)={x|a≤x<b 称a,b为区间的端点,称b-a为这些区间的长度 以上这些区间都称为有限区间 , (a,b) o a b
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 3、区间和邻域 O a b [a,b] 设a,b∈R,且a<b, 开区间 (a,b) = {x | a x b} 闭区间 [a,b] = {x | a x b} 半开区间 (a,b] = {x | a x b} 和 [a,b) = {x | a x b} 称a,b为区间的端点，称b－a为这些区间的长度. 以上这些区间都称为有限区间. (a,b) O a b