矩阵的初等变换与线性方程组——初等矩阵

矩阵的初等变换与线性方程组 第四节初等矩阵 初等矩阵的概念 二、初等矩阵的应用 三、小结思考题 帮助

初等矩阵的概念 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应 用广泛. 定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵 对调两行或两列; 2以数k≠0乘某行或某列; 3以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去

定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. E 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 一 、初等矩阵的概念       以数 乘某行（列）加到另一 行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1

l、对调两行或两列 对调E中第两行,即(rr得初等方阵 :/a ←第i行 E(i,j)= 0 第j行

对调 E 中第 i, j 两行，即(ri  rj)，得初等方阵 1、对调两行或两列        1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , )        E i j  第 i 行  第 j 行

用m阶初等矩阵En(i,)左乘A=(almx,得 12 In ←第i行 EmGi,j)a ana1a…an←第j行 m2 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第i行与第j行对调(T

用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A  (aij)mn，得        m m mn i i in j j jn n m a a a a a a a a a a a a E i j A              1 2 1 2 1 2 11 12 1 ( , )  第 i 行  第 j 行 ( ). i j A i j r r A 把 的第 行与第 行对调  相当于对矩阵 施行第一种初等行变换 ：

类似地, 以n阶初等矩阵En(i,j右乘矩阵A, In 21 2 2n AEnGi,j) 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的第讠列与第j列对调(c1(>c;)

以 阶初等矩阵 右乘矩阵 ， 类似地， n En (i, j) A        m mj mi mn j i n j i n n a a a a a a a a a a a a AE i j              1 21 2 2 2 11 1 1 1 ( , ) ( ). i j A i j c c A 把 的第 列与第 列对调  相当于对矩阵 施行第一种初等列变换 ：