根据《史记》得到的数据如下： 音符名 弦长 黄钟(C本音fundamental frequency) 81 林钟(G=黄钟三分损) 81×2/3=54 太簇(D=林钟三分益) 54×4/3=72 南吕(A=太簇三分损) 72×2/3=48 姑洗(E=南吕三分益) 48×4/3=64 应钟(B=姑洗三分损) 64×2/3=42.6667 蕤宾(F=应钟三分益) 42.6667×4/3=56.8889 大吕(CH=蕤宾三分益) 56.8889×4/3=75.8519 夷则(G=大吕三分损) 75.8519×2/3=50.5679 夹钟(D=夷则三分益) 50.5679×4/3=67.4239 无射(A=夹钟三分损) 67.4239×2/3=44.9492 仲吕(F=无射三分益) 44.9492×4/3=59.9323 清黄钟(=黄钟的高八度音=仲吕三分损) 59.9323×2/3=39.9549 注意最后一个“清黄钟”的长度39.9546不等于“黄钟”长度的一半 40.5,即所谓“黄钟不能还原”。因为在连乘十二次2/3或4/3后，最后 的值不可能精确达到原始的1/2。不过经过十二次的三分损益之后，已经 可以构成一个（稍有瑕疵的）音阶循环。因此中西方音乐理论都不约而同地 以“I2音阶”为主流，进而产生如纯律、十二平均律(Twelve Tone Equal Temperament)等不同的改进或修正方法。 11
ä‚5§P6Í‚Xeµ —Œ¶ u ë®(C —fundamental frequency) 81 ®(G=ë®n©õ) 81 × 2/3 = 54 q(D=®n©Ã) 54 × 4/3 = 72 H½(A=qn©õ) 72 × 2/3 = 48 W(E=H½n©Ã) 48 × 4/3 = 64 A®(B=Wn©õ) 64 × 2/3 = 42.6667 mU(F]=A®n©Ã) 42.6667 × 4/3 = 56.8889 å½(C]=mUn©Ã) 56.8889 × 4/3 = 75.8519 °K(G]=å½n©õ) 75.8519 × 2/3 = 50.5679 Y®(D]=°Kn©Ã) 50.5679 × 4/3 = 67.4239 Ã(A]=Y®n©õ) 67.4239 × 2/3 = 44.9492 ƽ(F=Ãn©Ã) 44.9492 × 4/3 = 59.9323 òë®(=ë®pl›—=ƽn©õ) 59.9323 × 2/3 = 39.9549 5øÅòá/òë®0›39.9546ÿ u/ë®0›òå 40.5ß=§¢/ë®ÿUÑ0"œè3ζõg 2/3 ½ 4/3 ßÅ äÿåU°(à©1/2"ÿL²Lõgn©õÃÉßƲ 屧òá(k×\)— ÃÇ" œd•‹ê—Wnÿ—ÿ ”/ ±/12— 0èÃ6ß? )XXÆ!õ²˛Æ(Twelve Tone Equal Temperament) ÿ”U?½?ê{" 11
我国明代音乐家朱载堉1于万历十二年(1584年)首次提出“新法密 率”（见《律吕精义》、《乐律全书》），推算出以比率 1.059463094359295264561825=2 将八度音等分为十二等分的算法，并制造出相应的管乐器及弦乐器，是世 界上最早的十二平均律乐器。 朱载堉用九九八十一位算盘得到的25位数字的音阶表如下 音符名 比率 正黄钟 1.000000000000000000000000 倍应钟 1.059463094359295264561825 倍无射 1.122462048309372981433533 倍南吕 1.189207115002721066717500 倍夷则 1.259921049894873164767211 倍林钟 1.334839854170034364830832 倍蕤宾 1.414213562373095048801689 倍仲吕 1.498307076876681498799281 倍姑洗 1.587401051968199474751706 倍夹钟 1.681792830507429086062251 倍太蔟 1.781797436280678609480452 倍大吕 1.887748625363386993283826 倍黄钟 2.000000000000000000000000 1律学家、历学家、数学家，艺术家，1536-1611，字伯勤，自号“狂生”、“山阳酒狂 仙客”，又称“端靖世子”。朱载堉祖籍安徽省凤阳县，生于怀庆府河内县（今河南省沁 阳市)，系明太祖朱元璋八世孙，明成祖朱棣的第七世孙，明仁宗朱高炽的第六代孙。 12
·I²ì—W[£1«1 u{õc£1584c§ƒgJ—/#{ó «0£Ñ5ƽ°¬6!5WÆ ÷6§ß Ìé—±'« 1.059463094359295264561825 = 12√ 2 Úl›— ©èõ ©é{ßøõE—ÉA+WÏ9uWÏߥ .˛Å@õ²˛ÆWÏ" £1«^ lõò†é25†Íi— LXe —Œ¶ '« ë® 1.000000000000000000000000 A® 1.059463094359295264561825 à 1.122462048309372981433533 H½ 1.189207115002721066717500 °K 1.259921049894873164767211 ® 1.334839854170034364830832 mU 1.414213562373095048801689 ƽ 1.498307076876681498799281 W 1.587401051968199474751706 Y® 1.681792830507429086062251 1.781797436280678609480452 å½ 1.887748625363386993283826 ë® 2.000000000000000000000000 1ÆÆ[!{Æ[!ÍÆ[ß²‚[ß1536-1611ßiÀçßg“/¥)0! /ÏÀ¥ lê0ßq°/‡½f0"£1«y7S†é¬{ß )u~ü?‡S{£8‡Héí ½§ßX²y£·löß²§y£ï1‘öß²;m£pæ18ìö" 12
十二律和十二月的联系 《礼记.月令》： 孟春之月，律中太簇： 仲春之月，律中夹钟： 季春之月，律中姑洗： 孟夏之月，律中仲吕： 仲夏之月，律中蕤宾： 季夏之月，律中林钟： 孟秋之月，律中夷则： 仲秋之月，律中南吕： 季秋之月，律中无射： 孟冬之月，律中应钟： 仲冬之月，律中黄钟： 季冬之月，律中大吕。 13
õÆ⁄õÈX 5rP©-6B äSÉßÆ•q¶ ÆSÉßÆ•Y®¶ GSÉßÆ•W¶ ägÉßƕƽ¶ ÆgÉßÆ•mU¶ GgÉßÆ•®¶ ä¢ÉßÆ•°K¶ Æ¢ÉßÆ•H½¶ G¢Éßƕö ä£ÉßÆ•A®¶ Æ£Éßƕ뮶 G£ÉßÆ•å½" 13
每一个声音有四个性质，即音高(frequency-pitch)、音量(amplitude- loudness)、音色(spectrum-timbre或tone color)和时值(duration-length),将 该声音与其他乐声区别开来。 声音的前三个性质即音高、音量和音色最为关键（部分学者仅将此三条 列为声音的三个性质)。其中音色的定义最为模糊，比如W.Dixon Ward称 音色为 a”wastebasket”attribute Stephen E.McAdams(1955？-,加拿大Schulich音乐学院音乐理论教 授)和其导师Albert Bregman(1936-,加拿大Megill大学心理声学教授)称音色 为 "the psychoacoustician's multidimensional waste-basket category for everything that cannot be labeled pitch or loudness" 说清楚说不清楚的（东西的）最佳途径是数学。 音色究竞是什么？法国数学家约瑟夫·傅里叶2证明所有乐声一器乐 和声乐-一都可用数学式来描述，这些数学式是简单的正弦函数的和。 2 Joseph Fourier,1768.3.21-1830.5.16,著名法国数学家，最著名的工作包括Fourier级 数，热传导与振动方程，温室效应greenhouse effect。约瑟夫的父亲一共有15个孩子，他的 母亲有12个孩子，约瑟夫排行9/12.9岁时母亲去世，10岁时父亲去世。 14
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Figure 7:J.Fourier 傅里叶1807年向法国科学院提交的一篇关于热传导问题的论文中，断 言任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文由著名数学家拉 格朗日，拉普拉斯和孟日(Monge)(均是傅里叶的老师)等审查，遭到众多批 评。这篇论文最终被授予1811年法国数学奖，但由于评价报告包含过多的 指责，傅里叶的论文未能公开发表。1822年，傅里叶被选为法国科学院秘 书(the Secretary,相当于院长)，同年出版了科学史上的经典名著《热的分 析理论》，总结了他的数学思想和数学成就。 傅里叶是拿破仑的密友，曾随拿破仑远征埃及，帮助建立了埃及科学 院以埃及的近现代数学，被拿破仑任命为Isere(伊泽尔省)的行政长官，数 次背叛拿破仑。 Yesterday was my 21st birthday,at that age Newton and Pascal had already acquired many claims to immortality. 15
Figure 7: J.Fourier Fpì1807cï{IâÆJòü'u9DØKÿ©•ß‰ Û?òºÍ—U –§nºÍð?Í" ˘üÿ©dÕ¶ÍÆ[. ÇKFß. .d⁄äF(Monge)(˛¥FpìPì) "ß;Øı1 µ"˘üÿ©Å™«É 1811c{IÍƯßduµdwù¹Lı çIßFpìÿ©ôU˙muL"1822cßFpì¿è{IâÆì ÷(the SecretaryßÉu)ß”c—á âƧ˛²;¶Õ59© ¤nÿ6ßo( ¶ÍÆgé⁄ÍƧ“" Fpì¥<ª’ólßQë<ª’D9ßêœÔ· D9âÆ ±D9CyìÍÆß<ª’?· èIsere(ûLé)1(ßÍ g<ª’" Yesterday was my 21st birthday, at that age Newton and Pascal had already acquired many claims to immortality. 15