21:34=1:1.619 Figure5:黄金比率 (图注：普通大小的向日葵的花盘上的沿顺时针旋转与逆时针旋转的 曲线个数为89条和55条.较小的向日葵则是55条和34条.较大的是144条 和89条.这些数值均为Fibonacci数，其比例约为1：0.618.) 由于x2-x-1=0,从而x2=x+1,故 x=1+1=1 1+足1+ 1 1 + 1 1十+ 所以有黄金比率的连分数(continued fractions)表达式 1+v5 1 2 =1十 1+ 1+*++王 6
Figure 5: ë7'« („5µ œåïFæs˛˜^û^=Ü_û^= ÇáÍè89^⁄55^. ïFæK¥55^⁄34^. å¥144^ ⁄89^. ˘ Íä˛èFibonacciÍߟ'~è1 : 0.618.) du x 2 − x − 1 = 0ßl x 2 = x + 1ß x = 1 + 1 x = 1 + 1 1 + 1 x = 1 + 1 1 + 1 1+ 1 1+ 1 x = · · · · · · . §±kë7'«Î©Í(continued fractions)Là™ 1 + √ 5 2 = 1 + 1 1 + 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 . . . ! 6
Figure6:祖冲之（公元429-500） (图注：祖冲之，世界上第一次将圆周率π计算到小数点后六位， 即3.1415926到3.1415927之间，比欧洲早1100年提出约率22/7和密率355/113. 对照：阿基米德（公元前287年一公元前212年）根据圆内外切正96边形求出圆 周率π介于22/7和223/71.) π无的连分数表示为 4 4 T=3十7十15十1+92+1+1 1+ 12 1+ 12 2+ 32 52 3+ 22 2+ 5+ 2+ 72 42 7+ 2+ 9+ 52 1+ 1+ 2+112 11+62 2+ 1+. 2+. 13+. 7
Figure 6: y¿É(˙429-500) („5µy¿Éß.˛1ògÚ ±«πOéÍ:8†ß =3.14159263.1415927Ém, 'Ó³@1100cJ—«22/7⁄ó«355/113. ÈϵCƒí(˙c287c)˙c212c)ä‚ S É96>/¶— ±«π0u22/7⁄223/71.) πÃΩÍL´è π = 3+ 1 7 + 1 15+ 1 1+ 1 292+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 2+ 1 1+ . . . = 4 1 + 1 2 2+ 32 2+ 52 2+ 72 2+ 92 2+ 112 2+ . . . = 4 1 + 1 2 3+ 22 5+ 32 7+ 42 9+ 52 11+ 62 13+ . . . 7
e=2+1+2* 二2十1十2计+ 6+ 6+- 8+. 1+. 趣事： 1.2009年3月12日，美国众议院将每年3月14日确定为全国的π日. 麻省理工学院每年都在π日发出新生录取通知书（现在是每年3月14日下 午1时59分26秒在网上发出). 2.π与e均为无理数，因此无限不循环.2005年19日14时52分开始 到11月20日14时56分时，中国西北农林科技大学应用化学专业研究生吕 超用时24小时4分钟，背诵圆周率小数点后67890位，刷新了由日本人创造 的无差错背诵小数点后42195位的背诵圆周率吉尼斯世界纪录 3.课题问答：(1)π的小数点后会不会有0123456789连续出现？ 答案：是的，出现在第1767网5位开始的十个数字 (2)π的小数点后会不会有连续十个7出现？（英国著名数学家Roger Penrose说人类几乎不可能知道这件事：此人与著名的霍金合作证明了宇宙 有黑洞) 客案：是的，出风在第22s6046249位开始的十个数守 习题5.(1)试求√2的连分数表示. (2)根据π的连分数表示找出π的前5个最佳分数近似，解释其中分 数号（约率）、（密率）与阿基米德(Achimedes人、祖冲之的方法之间的关 联 8
e = 2 + 1 1 + 1 2+ 1 1+ 1 1+ 1 4+ 1 1+ 1 1+ 1 6+ 1 1+ . . . = 2 + 1 1 + 2 2+ 3 3+ 4 4+ 5 6+ 7 7+ 8 8+ . . . ص 1. 2009c312Fß{IØÆÚzc314F(½è IπF. ÊénÛÆzc—3πFu—#)¹œ÷(y3¥zc314Fe Ã1û59©26¶3 ˛u—). 2. πÜe˛èÃnÍßœdÃÅÿÃÇ. 2005c19F14û52©m© 1120F14û56©ûß•I‹‡âEåÆA^zÆ;íÔƒ)½ á^û24û4©®ß { ±«Í:67890†ßM# dF <ME à Ü{Í:42195†{ ±«3Zd.V¹. 3. ëKØâµ(1) πÍ:¨ÿ¨k0123456789ÎY—y? âYµ¥ß—y311738794880†m©õáÍi. (2) πÍ:¨ÿ¨kÎYõá7—y? (=IÕ¶ÍÆ[Roger Penrose`<aAÿåU˘áصd<ÜÕ¶ø7‹äy² ⪠kÁ….) âYµ¥ß—y3122869046249†m©õáÍi. SK5. (1) £¶ √ 2ΩÍL´. (2) ä‚ π ΩÍL´È—π c5áÅZ©ÍCqß)ºŸ•© Í 22 7 («)! 355 113 (ó«)ÜCƒí(Achimedes)!y¿Éê{Ém' È. 8
1og2(3/2)的连分数表示如下（规律性不是特别强）： 1og2(3/2)= 1十1*2+ 2+ 23+ 2+· 由此可知其最佳的分数近似为 1372431179389 12512453306665 所有的分母均可以用来做“平均律”，因此可以有“5平均律”， “12平均律”，“41平均律”，“53平均律等等”.历史上得到深入研究的 除了“十二平均律”外，至少还有“31平均律”和“53平均律” 如果用分母来等分一个八度(octave),则分子恰好是一个（近似）纯五度 所需的音符数量.所以“十二平均律”中的纯五度需要7个音符（即7个半 音) 我国古乐调中共有五音(“五音不全”即出于此)，分别为： 宫、商、角（拼音为jue,阳平）、徵（拼音为zhi,上声）、羽 大体对应Pythagoras音阶中的C、D、E、G、A或简谱1、2、3、5、6. 9
log2 (3/2)ΩÍL´Xe(5Æ5ÿ¥AOr)µ log2 (3/2) = 1 1 + 1 1+ 1 2+ 1 2+ 1 3+ 1 1+ 1 5+ 1 2+ 1 23+ 1 2+ . . . ddåŸÅZ©ÍCqè 1, 1 2 , 3 5 , 7 12 , 24 41 , 31 53 , 179 306 , 389 665 , ... §k©1˛å±^5â/²˛Æ0ßœdå±k/5²˛Æ0ß /12²˛Æ0ß/41²˛Æ0ß/53²˛Æ 0. {§˛ \Ôƒ ÿ /õ²˛Æ0 ßñÑk/31²˛Æ0⁄/53²˛Æ0. XJ^©15 ©òál›(octave)ßK©fT–¥òá(Cq)X › §I—ŒÍ˛. §±/õ²˛Æ0•X ›Iá7á—Œ (=7áå —). ·IWN•k —(/ —ÿ 0=—ud)ß©Oèµ ˚!˚!(©—èjueß²)!Ê(©—èzhi߲()!ã åNÈAPythagoras— •C!D!E!G!A½{Ã1!2!3!5!6. 9
歌曲《龙文》中将宫、商、角、徵、羽谱为 |35312-1 似可改为更具启发性的(？？？) |12356-1 《史记》（三分损益法或三分损益律）： 九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为徵。三分益一，七十二以 为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。 但至迟不晚于公元前5世纪，我国已有十二律的概念，即 黄钟一大吕一太簇一夹钟一姑洗（拼音xian,上声）一仲吕一蕤（拼 音u,阳平)宾一林钟一夷则一南吕一无射（拼音yi,去声）一应钟。 10
y59©6•Ú˚!˚!!Ê!ãÃè | 3 5 3 1 2 − | qåUèç‰Èu5(ººº) | 1 2 3 5 6 − | 5§P6(n©õÃ{½n©õÃÆ)µ lõò±è˚"n©òß õo±èÊ"n©Ãòß‘õ± è˚"n©òßoõl±èã"n©Ãòß8õo±è" ñ¥ÿu˙c5Vß·IÆkõÆVgß= 뮮彮q®Y®®W(©—xian߲()®Æ½®m(© —ruiß²)U®®®°K®H½®Ã(©—yiß()®A®" 10