(4)称v(x,)是具无限小上界的,若存在正定函数 (,使得p(x,1)≤w(x),即 Jim ue - ve(x)=0对 致 例:v(x)=x2+x2不具无限小上界,只要取、六 而v(x,t)=x12+ sint .x2具无限小上界,只要取 (x)=y 即可
2 2 1 2 2 2 1 v x t x tx t ( , ) x 例： = + = 不具无限小上界，只要取 ； 0 4 ( , ) ( ) ( , ) ( ) lim ( , ) 0 = → （ ）称 是具无限小上界的，若存在正定函数 ，使得 ，即 对 一致。 x v x t w x v x t w x v x t t 2 2 1 2 而v x t x t x ( , ) sin = + 具无限小上界，只要取 2 2 1 2 w x x x ( )= + 即可
二、几个主要定理 本节讨论方程 x=f(, teR", f(o, t)=0; 或 元=f(x),f(0=0(8-39) x ,xny,f(x,t)=D2,…n 关于平衡状态ⅹ=0的稳定性
本节讨论方程 关于平衡状态 x = 0 的稳定性。 ( , ) (0, ) 0; R n x f x t f t = = ， 二、几个主要定理 1 2 1 2 [ , , , ] , ( , ) [ , , , ] T T n n x x x x f x t f f f = = 或 x = f ( x ), f ( 0) = 0 (8-39)
首先,对函数vx)沿方程(8-39)解对时间t求导数 dhv(x)Ov(x)x;又Ov(x) i=1 Clx 「f(x) Ov(x)f2(x) f(x) ax
1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i dv x v x v x dx f x dt x dt x = = = = 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T n n f x v x v x v x v x f x f x x x x x f x = = 首先，对函数 v(x) 沿方程(8-39)解对时间 t 求导数：
定理8-20*( Lyapunov,892): v(xt)正定(负定),且沿方程(8-39) 元=f(x),f0)=0(8-39) 的始于ⅹ、t的运动的导数 Ov Ov x,) f(x, t) ∑。f1,1)≤0≥0)(8-40 at a ot =l ax 则(8-39)的零解sL稳定
v(x,t)正定（负定），且沿方程（8-39） 则（8-39）的零解i.s.L稳定。 定理8-20*（Lyapunov,1892)： 的始于x、t 的运动的导数 x = f ( x ), f ( 0) = 0 (8-39) = + = + = n i i i T f ( x,t ) ( ) x v t v f ( x,t ) x v t v v( x,t ) 1 0 0 (8-40)
注 1)这是一个充分条件; 2)若f不显含t从而v不显含t,则结论为 v(x)=()f(x)=∑fx)≤020) 这里,x=f(x),f(O)=0
注： 1) 这是一个充分条件； 2) 若f不显含t,从而 v 不显含t，则结论为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0( 0) = = = n T i i i v v v x f x f x x x 这里，x f x f = = ( ), (0) 0