正定函数v刈)=C1>0的等值线示意图:这是一族 闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩的 曲线。C≤C2<C<C<C<C<C2
正定函数v(x) = Ci > 0 的等值线示意图：这是一族 闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩的 曲线。 C C C C C C C 1 2 3 4 5 6 7 ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
爸号函数的定义 我们首先考察定义在<g2,t≥10上的时变量实值 函数U(x,t),这里,g>0,并假定v(x,t)为单值连续的, 且当x=0时,v(0,t)=0例如 v(x,t)=,,(x1+x2),t≥t0>0 1+t 就是这样的函数 定义7-12 若v不显含t,只是x的函数,当<9时有vx)≥0(≤0 且v(x)=0有非零解x≠0,则称v(x)为常正(常负)函数。 例:v(x)=x12+x2-2x2是一个常正函数
一、符号函数的定义 0 , ( , ), 0 ( , ) (0, ) 0 = 我们首先考察定义在 上的时变量实值 函数 这里， ，并假定 为单值连续的， 且当 =0时， 。例如 x t t x t v x t x v t 1 ) 0( 0), ) 0 ( ) ( v t x x v x v x x v x = （）若 不显含 ,只是 的函数，当 时有（ 且（ 有非零解 0,则称 为常正 常负）函数。 定义7 - 12 2 2 2 1 2 0 1 ( , ) ( ), 0 1 = + + v x t x x t t t 就是这样的函数。 2 2 1 2 1 2 例：v x x x x x ( ) 2 = + − 是一个常正函数
若当0<k1<9时有v(x)>0(<0),且v(x)=0仅有零 解x=0,则称v(x)为正定(负定)函数 常正(负)函数又称为半正(负)定函数。常正 常负函数统称常号函数。 例:y(x)=x2+x2是一个正定函数 2)若v(x,2)在r≥0,x<上恒有v(x,1)≥0≤0 则称v(x,t)为常正(常负)函数 例:v(x,t) 1(x2+x2)t≥10>0就是一个常正函数 注意到在这个例子中lm,v(x,t)=0
) 0( 0) ) 0 ) x v x v x x v x 若当0< = 时有（ ，且（ 仅有零 解 =0,则称（ 为正定（负定）函数。 2 2 1 2 例：v x x x ( ) = + 是一个正定函数。 0 （2 ( , ) ( , ) 0( 0), ）若v x t t t x v x t 在 , 上恒有 2 2 2 1 2 0 1 ( , ) ( ), 0 1 v x t x x t t t = + + 例： 就是一个常正函数。 注意到在这个例子中lim ( , ) 0 t → v x t = 。 常正（负）函数又称为半正（负）定函 负 数统 数 号 数 。 称 常正、 常 函 常 函 。 则称v x t ( , ) ( 为常正 常负）函数
若当|<存在正定函数(x),使得对于t≥10 成立v(x,t)≥(x),则称v(x,)为正定函数 若对于t≥t0,成立v(x,1)≤-形(x),则称v(x,t) 为负定函数。 例:v(x,1)=(1+,)x2+x2)1210>0,正定,只要 1+t 取(x)=x2+x2就可看出。 正定、负定函数统称定号函数。 (3)不是常号和定号函数的函数统称变号函数。 例:v(x)=x1x2是变号函数
0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) x w x t t v x t w x v x t 若当 存在正定函数 ，使得对于 成立 ，则称 为正定函数； 2 2 2 1 2 0 2 2 1 2 1 ( , ) (1 )( ), 0, 1 ( ) v x t x x t t t w x x x = + + + = + 正定，只要 取 就可看出。 例： 正定、负定函数统称定号函数。 （3）不是常号和定号函数的函数统称变号函数。 1 2 例：v x x x ( ) = 是变号函数。 0 若对于t t v x t w x v x t − ，成立 ( , ) ( ) ( , ) ，则称 为负定函数
例:变号v(x1,x2)=x1x2 正定和常正函数的例子: 例:w(x,)=(a+e)x12+x2)(a>0)是t≥t0>0上的正定 函数 例:v(x,t)=e(x2+x2)是t≥to>0上的常正(半正定) 函数
ε 例 ： 变号 v (x 1 , x 2 ) = x 1 x 2 x 1 x 2 + + － － 2 2 1 2 0 ( , ) ( )( ) 0) 0 t v x t a e x x a t t − = + + （ 是 上 的 。： 正 定 函 数例 2 2 1 2 0 ( , ) ( ) 0 t v x t e x x t t − ： = + 是 上 的 常 正（半 正 定） 函数。 例 正定和常正函数的例子：