几何解释(仅讨论vx)的情形): 由于v(x)正定,x)=C是一个闭的曲面族,层层 相套、随C→>0而向原点退缩。又由v半负定知v(x) 的值沿着运动轨道只能减小或保持定值而不会增加, 这表明系统关于原点(零解)是稳定的
几何解释（仅讨论v(x)的情形）： 1 x 2 x 1 x 2 x 由于v(x)正定， v(x)=C是一个闭的曲面族，层层 相套、随 而向原点退缩。又由 半负定知v(x) 的值沿着运动轨道只能减小或保持定值而不会增加， 这表明系统关于原点（零解）是稳定的。 C → 0 v
例:考虑系统: 取vx)=(x2+x2),则v=2(x1x1+x2x2)=-2x2+2x2x1=0, 根据定理8-20,系统关于零解李氏稳定。因v=0,可知 相轨迹必在等值线上 事实上,我们有: ()+x2()=x2(t0)+x2(t0)
例：考虑系统： 1 2 2 1 = − = x x x x 事实上，我们有： 2 2 2 2 1 2 1 0 2 0 x t x t x t x t ( ) ( ) ( ) ( ) + = + 。 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ), 2 2 2 0, 7 20, 0, = + = + = − + = − = 取 则 （ ） 根据定理 系统关于零解李氏稳定。因 可知 相轨迹必在等值线上。 v x x x v x x x x x x x x 8 v
定理8-21*若vx)正定(负定),且vx)沿方程 (8-39)dk/dt=fx),f(0)=0解的导数 dv(x)Ov f(x)=∑f(x)<0(>0)(8-40) 则(8-39)的零解渐近稳定。 几何解释: 由于v(x)正定,v(x)=C是一个闭的曲面族,层层 相套、随C趋向于零而向原点退缩。而dv/ot负定则 说明:在任一点x处,vx)的值都是减小的,从而在 任一点x处,运动的轨线都从vx)=C的外部穿越 v(x)=C走向内部。这表明, lim()=0,即原点(零 解)是渐近稳定的
则（8-39）的零解渐近稳定。 几何解释： 由于v(x)正定， v(x)=C是一个闭的曲面族，层层 相套、随C 趋向于零而向原点退缩。而dv/dt 负定则 说明：在任一点x处，v(x) 的值都是减小的，从而在 任一点x 处，运动的轨线都从v(x)=C的外部穿越 v(x)=C 走向内部。这表明，limt→0 x(t)=0，即原点（零 解）是渐近稳定的。 定理8-21* 若v(x)正定（负定），且v(x)沿方程 （8-39）dx/dt=f(x), f(0)=0 解的导数 f ( x ) ( ) x v f ( x ) x v dt dv( x ) n i i i T 0 0 1 = = = (8-40)
1 x 2 x