性质3 若1.i.mXn=X1.i.mY=Y 则对任意常数a、b都有 1.i m(ax,+br=aX+bY 首页 证因为 ELax+br,-(ax +br)I Ela(Xn-X)+b(r,-YI <2a ELXn-X)+2bElCn-5)]n-c 故得证
性质3 若 则对任意常数a、b都有 证 因为 l.i.m Xn = X l.i.m Yn = Y 故得证 l.i.m (aXn + bYn ) = aX + bY 2 E[aX bY (aX bY)] n + n − + 2 E[a(X X ) b(Y Y)] = n − + n − 2 [( ) ] 2 [( ) ] 2 2 2 2 a E Xn − X + b E Yn −Y ⎯ ⎯→0 n→ 首页
性质4 若1.i.mXn=X1.i.mXn=Y 则XY=Y 注若P(X=Y)=1,则称X与Y相等 证因E(xn-1)1=E[x2]-2E[X]+E[Y2 1.i.m X+X E(x-)]=y21-2E2]+y1=0 于是P(X=Y)=1即X=Y 首页 返回
性质 4 若则注 因 l.i.m Xn = X l.i.m Xn = Y = X = Y 若 P(X = Y) = 1，则称 X 与 Y 相等 证 [( ) ] [ ] 2 [ ] [ ] 2 2 2 E Xn − Y = E Xn − E Xn Y + E Y l.i.m Xn = X [( ) ] 2 E X − Y l.i.m X n = Y [ ] 2 [ ] [ ] 0 2 2 2 E Y − E Y + E Y = 于是 P ( X = Y ) = 1 即 X = Y 返回 首页
第三节均方连续性 均方收敛 imE[(X(t)-X0)2]=0 →>t 、均方连续 称X()在1→>时均方收敛于X0 定义1设随机变量{X(1),t∈(-∞,+∞)}为二阶矩过程 若对某一确定的t∈(-∞,+∞),有 l.i. mX(t+h)=X(t) 首页 h→>0 即mnE[(X(+h)-X()2]=0 h→>0 则称X(1)在点均方连续
第三节 均方连续性 均方收敛 定义1 即 则称 在点t均方连续。 设随机变量{X(t) ，t (− ,+ ) }为二阶矩过程 若对某一确定的t (− ,+ ) ，有 ( ) ( ) 0 X t h X t h + = → l.i.m lim [( ( ) ( )) ] 0 2 0 + − = → E X t h X t h X (t) 一、均方连续 lim [( ( ) ) ] 0 2 0 0 − = → E X t X t t 称 X (t) 在 t →t 0 时均方收敛于 X0 首页
、均方连续准则 定理1设随机变量{X(1),t∈(-0,+∞)}为二阶矩过程 R(S,).其相关函数,则 X(t)在t=τ处均方连续R(S2t)在(,x)连续 证充分性设R(s.)在(2)连续则 lm El(X(t+h)-X(o)] =lim[R(T+h,+h-R(I+,tR(t,T+h)+R(, T) 所以1.i.mX(z+h)=X() h→)0 首页
二、均方连续准则 定理1 则 证 充分性 设随机变量{X(t) ，t (− ,+ ) }为二阶矩过程 R(s,t) 为其相关函数， X(t) 在t = 处均方连续R(s,t) 在( , ) 连续 设 R(s,t) 在( , ) 连续 则 lim [( ( ) ( )) ] 2 0 E X h X h + − → lim[ ( , ) ( , ) 0 R h h R h h = + + − + → − R( , + h) + R( , )] = 0 所以 ( ) ( ) 0 X h X h + = → l.i.m 首页
再证必要性设X()在处均方连续,又 R(I+h,T+k)=E(X(T+h(x(r+k) 由均方收敛性质2得 首页 lim R(t+h,t+k=E (X(X(=r(,T) h>0 k→>0 即R(S,t)在(τ,)连续 定理2汕(2)矩{()·∈(-0+0)} 则R(S,t)在{(S,),S2t∈(-∞,+∞)}处连续 证因R(S,t)在{(t,t),t∈(-∞,+∞)}处连续, 由定理1知,X()在t(-+∞)点均方连续, 即对于S,t∈(-∞,+∞),有
再证必要性 又 由均方收敛性质2得 定理2 证 设 X(t) 在 处均方连续， R( + h, + k) = E（X ( + h)(X ( + k)） lim ( , ) ( ) ( ) ( , ) 0 0 R h k E X X R k h + + = = → → （ ） 即 R(s,t) 在( , ) 连续。 如果R(s,t) 在{ (t,t) ，t (− ,+ ) }处连续， 则 R(s,t) 在{(s,t) ，s,t (− ,+ ) }处连续。 因 R(s,t) 在{ (t,t) ，t (− ,+ ) }处连续， 由定理1知， X (t)在 t (−,+) 点均方连续， 即对于s,t (− ,+ ) ，有 首页