第二节均方极限 、均方收敛 定义1设随机变量序列{Xn,n=12,}和随机变 量X都存在二阶矩,如果 Iim EL(X-X=0 n→0 则称{Xn}均方收敛于X,或称X是{Xn}的均方极限 记作1.i.mXn=X或简记为1.i.mX=X n→ n 首页
第二节 均方极限 一、均方收敛 定义1 设随机变量序列{ ，n = 1,2,…}和随机变 量X都存在二阶矩， Xn 如果 lim [( ) ] 0 2 − = → E Xn X n 则称{ } Xn 均方收敛于X， 或称X是{ } Xn 的均方极限 记作 Xn = X n → l.i.m 或简记为 l.i.m Xn = X 首页
二、均方收敛准则 定理1柯西准则 设{xn,n=1,2,…}是二阶矩随机变量序列, 则X,均方收敛的充要条件为 Im ELXn-Xm=0 n→0 n→00 证只证必要性 因为Xn均方收敛于X,所以有 Im ELXn-X=0 lm EL(Xm-X=0 →0 首页
二、均方收敛准则 定理1 柯西准则 则 Xn 均方收敛的充要条件为 证 只证必要性 因为 均方收敛于X， 所以有 设{ Xn ,n = 1,2, …}是二阶矩随机变量序列， lim [( ) ] 0 2 − = → → n m m n E X X Xn lim [( ) ] 0 2 − = → E Xn X n lim [( ) ] 0 2 − = → E X m X m 首页
又由(Xn-Xn)2=[(Xn-X)-(Xn-X)2 ≤2(Xn-X)2+2(Xn-X)2 所以当n→>∞,m→>∞时,得 0≤lmE[(Xn-Xn)2 n→00 <2(im El(X-X)+lm ElXm-X n→>00 0 故 ELXn-Xm=0 n→00 n→00 首页
又由 所以 故 lim [( ) ] 0 2 − = → → n m m n E X X 2 2 (X X ) [(X X ) (X X )] n − m = n − − m − 2 2 2(X X ) 2(X X ) n − + m − 当n → ，m → 时，得 0 lim [( ) ] 2 n m m n E X − X → → 2{lim [( ) ] lim [( ) ]} 2 2 E X X E X m X m n n − + − → → = 0 首页
注mB(xn-Xm)=0等价mE(XnXm)存在 n→00 m→00 1→00 其说明随机变量序列X,均方收敛的充要条件是它 的相关函数列按普通极限意义收敛 三、 均方收敛性质 性质1若1.i.mXn=X则 lim EX,=E(X)=E(Ii m Xn) n→00 首页 证由许瓦兹不等式得 E(X)-EX=E(X-XI SEIXn-XI 因imn[E(Xn-X)2]=0故得证 n→0 注当Xn均方收敛于x时,Xn的期望收敛于x的期望
注 等价 存在 其说明随机变量序列 均方收敛的充要条件是它 的相关函数列按普通极限意义收敛。 Xn 三、均方收敛性质 性质1 若 则 lim [( ) ] 0 2 − = → → n m m n E X X lim ( ) n m m n E X X → → l.i.m Xn = X lim E[X ] E(X ) n n = → ) E Xn = (l.i.m 证 由许瓦兹不等式得 − = 2 | E(X ) E(X ) | n 2 | E(X X ) | n − 2 E | X X | n − 因 lim[ ( ) ] 0 故得证 2 − = → E Xn X n 注 当 Xn均方收敛于X时，Xn的期望收敛于X的期望 首页
性质2 若1.i.mXn=X1.i.mY=Y 9y lim E[X, Ym]=E(XY)=E(l i m X, 1.i. m Y) n→00 n→00 证由许瓦兹不等式得 首页 LE(X,)-E(XDE(X Ym-XY =ElX(m-Y+(Xn-XY+(Xn-XCm-YI ELX(Ym-YI+EL(X-X)Y+EL,-X(m-n) ≤{E(X)E(Ym-Y)]}2+,{E[(Xn-X)]E(Y)}2 +El(,-X -YI 因lmnE(Xn-X)2]=0im[E(x-)]=0故得证 n→)0
性质2 若 则 证 由许瓦兹不等式得 l.i.m Xn = X l.i.m Yn = Y lim E[X Y ] E(XY) n m m n = → → ) E Xn Yn = (l.i.m l.i.m | E(X Y ) E(XY)| | E(X Y XY)| n m − = n m − | E[X(Y Y) (X X)Y (X X)(Y Y)]| = m − + n − + n − m − | E[X(Y Y)]| | E[(X X)Y]| m − + n − | E[(X X)(Y Y)]| + n − m − 2 1 2 2 {E(X )E(Y Y) ]} m − 2 1 2 {E[(X X ) ]E(Y)} + n − 2 1 2 2 {E[(X X) ]E[(Y Y) ]} + n − m − 因 lim[ ( ) ] 0 2 − = → E Xn X n lim[ ( ) ] 0 2 − = → E Yn Y n 故得证 首页