1.i. mX(S+h)=X(s) h→>0 I.i. mX(t+h)=X(t) h→>0 再由均方收敛性质2,得 lim R(S+h, t+k)=lim EX(s+h)x(t+k) h→>0 k→>0 k→>0 =E[X(S)X()]=R(S2) 即R(S,1)在{(S,1),s,t∈(-∞+∞)}处连续 首页
再由均方收敛性质2，得 即 ( ) ( ) 0 X s h X s h + = → l.i.m ( ) ( ) 0 X t h X t h + = → l.i.m lim ( , ) 0 0 R s h t k k h + + → → lim [ ( ) ( )] 0 0 E X s h X t k k h = + + → → = E[X (s)X (t)] = R(s,t) R(s,t) 在{(s,t) ，s,t (− ,+ ) }处连续。 首页
定理3若二阶矩过程{X(t),t∈T}是均方连续的, lim elX(t+h=ex(tI h->0 证由均方连续定义 imE[(X(t+h)-X(t)2]=0 h->0 从而mEX(+1)=E(1..mX(t+h)=EX( h->0 h→)0 说明在均方连续的条件下,均值运算与极限运算的次 序可以互换。但要注意,上式左边为普通函数的 首页极限,而右边表示均方收敛意义下的极限
定理3 则 证 由均方连续定义 若二阶矩过程{X(t) ,t T }是均方连续的， lim [ ( )] [ ( )] 0 E X t h E X t h + = → lim [( ( ) ( )) ] 0 2 0 + − = → E X t h X t h 从而 lim [ ( )] 0 E X t h h + → ( ) [ ( )] 0 X t h E X t h E + = → = （l.i.m ） 说明 在均方连续的条件下，均值运算与极限运算的次 序可以互换。但要注意，上式左边为普通函数的 首页 极限，而右边表示均方收敛意义下的极限
例 设{X(),t≥0}是具有参数为的泊松过程, 试讨论其均方连续性 解泊松过程的均值、方差函数为 m(t)=EX(=nt D(t)=DIX(t]=nt 若0≤s≤t,则相关函数 R(S,D)=EL(3)X()=E{X(s)XY(t)-X(s)+X(s)} =EX()]+EX(s)·EX()-X() =DX(s)]+[m(s)2+As·(t-s) =s+()2+(-s)=4+x3x首页
例1 试讨论其均方连续性。 解 泊松过程的均值、方差函数为 则相关函数 设{ X(t) ,t 0 }是具有参数为 的泊松过程， m(t) = E[X (t)] = t D(t) = D[X (t)] = t 若0 s t ， R(s,t) = E[X (s)X (t)] = E{X (s)[X (t) − X (s) + X (s)]} [ ( )] [ ( )] [ ( ) ( )] 2 = E X s + E X s E X t − X s [ ( )] [ ( )] ( ) 2 = D X s + m s + s t − s s s s t s s st 2 2 = + ( ) + ( − ) = + 首页
同样当0≤t≤s时,有 R(S, t)=/t+/st 因此R(s,t)=2min(s,)+2st 由于 R(S,1)在(t,t)处二元连续 故X()在t≥0时均方连续。 注此例说明均方连续的随机过程,其样本曲线不 定是连续的 首页 返回
同样 因此 由于 当0 t s 时，有 R s t t st 2 ( , ) = + R s t s t st 2 ( , ) = min( , ) + R(s,t) 在（t，t）处二元连续 故 X(t) 在t 0 时均方连续。 注 此例说明均方连续的随机过程，其样本曲线不 一定是连续的。 返回 首页
第四节均方导数 、均方导数的定义 定义1设随机变量{x(),t∈(-,+∞)}为二阶矩过程 对于确定的t∈(-∞+∞),如果均方极限 1.i. m X(t+h)-X(t) 存在 h→>0 h 则称X()在处均方可微,并将此极限记作X( 称为X(1)在t处的均方导数 即有X()=1.i X(t+h)-X(t) m h→)0 或 lim El X(t+h)-X(t) x()=0首页 h→>0 h
第四节 均方导数 一、均方导数的定义 定义1 如果均方极限 存在 设随机变量{X(t) ，t (− ,+ ) }为二阶矩过程 对于确定的t (− ,+ ) ， h → 0 l.i.m h X (t + h) − X (t) 则称 X (t) 在t处均方可微， 并将此极限记作 X (t) 称为 X(t) 在 t 处的均方导数 即有 X (t) = h → 0 l.i.m h X (t + h) − X (t) 或 ( ) 0 ( ) ( ) lim 2 0 = − + − → X t h X t h X t E h 首页