w-famav (3.1-19) 在静磁场中，可以用矢势和电流表示总能量. 由于B=V×A,则 W=2∫B.r=2∫×A0Hn=2(4×+A(×HW =3fAxm西+打4Jd 上式第一项在无穷远界面上的积分趋于零，因此 w-∫AJ (3.1-20) 例1试找出一种在球坐标系中匀强磁场B。的矢势（要同时 满足V·A=0)。 解设B。沿%轴方向，即 Bo=Bex=B。cos0er-B。sinbeo 7×4=,m品(m9A)-2路e 「10Ar-品(rA) rl.sina +[易rAg）-a路1e a0 两式对照，可得 rsin9la0（sin9Ao)- 1a aAo-B.cos0 ad J 1「1 8Ar sin0aφ 品(rA小=-，sn0 0 (rAo)-_ A,=0 20 我们用试探法找A,A。和A。,使之满足以上三个方程。对于于第三式，最简单的情况 是：A.=A。=0 将此结果代入第二式，得出 1(Ae)-Bosin r ar 对上式积分后，去掉在物理上不起影响的常数项，得到 A中= 1Borsin 94
将A。和A值代入第一式的左方，得到 1 (sin 0-Borsin )=Bo cos rsin 0 00 则第一式也得到满足。 由于 7A=4+7g品(sm0Ag）+pag路 1aAφ 以上Ar、A。和A中之值显然满足V·A=0。因此，均匀磁场B。 的矢势A的一种表达式为 A-2 Brsin0e0-2B,×r 例2.无穷大导体平面上流有均匀面电流a,,求空间中的A和B. 解设导体平面为z0x平面，a,方向与z轴方 向相同，用直角坐标系，由a,的方向可知空间点A 只有z分量，且与x、z无关。所以72A=0,只有z 分量方程， 7A2= A2=0 dz 在由导体平面分开的空间左右方，各用一个微分方 图例2 程表示： A=0 d (y0), A:=0 dn (y>0) 95
其通解分别为 A1=ay+b(y<0);A2=ey+d(y>0) 在y=0处，A,=A2,所以b=d。为方便（且不影响求B),可设 b=d=0 又由于空间左右对称，y=处的A,应与y=一。处的A相等， 即cy。=-ay则 c=-a 再根据g=0处，司(4，-A,)=-山，可得2a=,。则 ay 1 a=2Mof, 6- 将系数值代入通解，得到 A=arye:(<),A:=-aye:(y0) B,=V×A=re B,=7×A:=-2aez 例3，电流I均匀分布于半径为a,磁导率为μ的无穷长直导线内，求矢势A与磁感应强 度B。 解：以导线的轴为z轴，取柱坐标系，由电流方向可知，A只有z分量，且与z、 中无关，所以式7A=-J只有z分量的方程。于是，可知长直导线内外的微分方程分 别为 A=,)=- (r<a) A={）上=0 (r>a) 为了方便，下面将Az、A2写成A1、A2,通过积分求出A与A2的通解为， 4玩0r+6nr+c A:=-L (g<a) A2=dln+f (r>a) r=0处，A1有限，则b=0。 r=a处，A2=A,可得到 f=-4I-dina+o 4 96
r=a处，1e,xV×A=e,xV×A,应用矢量分析公式 o u ×了-（-2）e,+(-) +[品o)-6]e: 可推出 d=- 将这些系数值，代入A1、A2的通解中，并没任意常数c=O(不影响求B),得到 A1= Axgir'es uI (r<a) 4=-(+)e (r>a) B=V×A= 2mairep B,=7xA,=1e0 2πr 3.2磁标势 解磁矢势微分方程比解静电场标势微分方程要复杂，因为前者要解三个标量微分方 程而后者只解一个标量微分方程。那么在解静磁场问题时能否类似静电场那样引入磁标 势，从而使问题得到简化呢？ 3.2.1 磁场可以用标势描述的条件 一个空间区域V中的磁场可以用标势描述的条件是在其中作出的任何一条闭合曲 线都不连环着电流。 在区域V中任取一条闭合曲线L,设S是以L为边界的任一个曲面，规定L的绕行 方向与S法向成右手螺旋关系。由于L不连环电流，流过曲面S的电流强度等于零，由 Ampere环路定理： nd=[.ds=0 即 97
[W×H)S=0 由于S面是任意的，在区域内必有 V×H=0 (3.2-1) 所以H是个无旋场，可以引进一个标量函数描述。 必须注意，仅仅式(3.2-1)成立，即所考虑的区域内不有在电流，并不能保证这个区 域中的磁场一定可以用磁标势描述，例如空间一根无限长载流直导线，导线外的空间中 不存在电流，但在导线外空间中仍可作出连环着电流的闭合曲线（如图3.2-1中的L)。为 了使导线外空间满足可以用标势描述的条件，我们需要去掉含导线在内的整个半无限大 平面。这时（图3.2-）中的闭合曲线L,由于去掉了在半无限大平面上的点，就不再是闭 合的了。其余空间中任何一条闭合曲线都不会再连环着电流。同样，对于（图3.2-2）所示 的电流圈，为了使除去电流圈的空间可以用标势描述，需要去掉包含电流圈在内的一个 薄壳层。 图3.2-1 图3.2-2 从物理上看上述作法相当于把磁场由横场变为纵场。由于去掉的部分切断了原来闭 合的磁力线，使磁力线从壳的一面发出，而终止在壳的另一面上（对图3.21情况是从半 无限大平面一侧发出，终止在另一侧上)，就好象壳的一面分布有正磁荷，而另一面上 有负磁荷，这样磁力线就成为由正磁荷发出，终止在负磁荷上的纵场。因此可以用标势 描写。至于永久磁铁的磁场，由于其磁场是由分子电流激发，全空间中部没有自由电流， 因而在全空间中都可用标势描述。 98